[TIPS] Phương pháp chứng minh bằng phản chứng

Tải tài liệu

Trích dẫn file PDF

1. Phương pháp chứng minh bằng phản chứng:
– Mục tiêu: Chứng minh định lý “$\forall x \in X, P(x) \Rightarrow Q(x)$”
– Bước 1: Giả sử tồn tại $x_0 \in X$ sao cho $P(x_0)$ đúng và $Q(x_0)$ sai.
– Bước 2: Suy luận để đi đến mâu thuẫn.

2. Ví dụ 1: Chứng minh nếu $n^3$ chia hết cho 3 thì $n$ chia hết cho 3.
– Giả sử $n$ không chia hết cho 3: $n = 3k + 1$ hoặc $n = 3k + 2$
– Chứng minh $(3k+1)^3$ và $(3k+2)^3$ không chia hết cho 3

3. Ví dụ 2: Chứng minh phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ $(a,c \neq 0)$ vô nghiệm thì $a$ và $c$ cùng dấu.
– Giả sử $a$ và $c$ trái dấu: $ac < 0$
– Chứng minh $\Delta = b^2 – 4ac > 0$, mâu thuẫn với giả thiết vô nghiệm

4. Ví dụ 3: Chứng minh $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.
– Giả sử $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$, với $m,n \in \mathbb{N}^*, (m,n) = 1$
– Chứng minh $m^2 = 2n^2$, dẫn đến $m$ và $n$ đều chẵn, mâu thuẫn với $(m,n) = 1$

5. Ví dụ 4: Chứng minh nếu $a,b,c > 0$, $abc = 1$, và $a+b+c > \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$, thì chỉ một trong ba số lớn hơn 1.
– Xét các trường hợp và chứng minh mâu thuẫn

6. Ví dụ 5: Chứng minh nếu $a+b+c > 0$, $ab+bc+ca > 0$, và $abc > 0$, thì $a,b,c$ đều dương.
– Giả sử có ít nhất một số không dương và chứng minh mâu thuẫn

7. Ví dụ 6: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến vừa là phân giác là tam giác cân.
– Giả sử tam giác không cân và chứng minh mâu thuẫn về tính song song của các đường thẳng

Tài liệu này cung cấp nhiều ví dụ đa dạng về phương pháp chứng minh bằng phản chứng, áp dụng cho các bài toán số học, đại số và hình học.