Sự cùng phương của hai véctơ – ba điểm thẳng hàng
Kính gửi các em học sinh lớp 12 thân mến,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin trân trọng giới thiệu đến các em bài viết “Sự cùng phương của hai véctơ – ba điểm thẳng hàng”. Đây là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp các em nắm vững kiến thức về véctơ và ứng dụng trong hình học không gian.
Bài viết được biên soạn với ngôn ngữ dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa sinh động, nhằm giúp các em tiếp cận kiến thức một cách tự nhiên và hiệu quả. Chúng tôi hi vọng tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành đắc lực, hỗ trợ các em trong quá trình học tập và ôn luyện môn Toán.
Chúc các em học tập tốt và gặt hái nhiều thành công!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Sự cùng phương của hai véctơ – ba điểm thẳng hàng
DẠNG 1. Sự cùng phương của hai véc-tơ. Ba điểm thẳng hàng
Phương pháp giải.
(1) Hai véc-tơ $\vec{a}=\left(a_1 ; a_2 ; a_3\right)$ và $\vec{b}=\left(b_1 ; b_2 ; b_3\right)$ (với $\left.\vec{a} \neq \overrightarrow{0}\right)$ cùng phương với nhau khi và chỉ khi
$$
\vec{b}=k \vec{a} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
b_1=k a_1 \\
b_2=k a_2 \\
b_3=k a_3
\end{array}\right.
$$
Nếu $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \neq 0$ thì hai véc-tơ $\vec{a}=\left(a_1 ; a_2 ; a_3\right)$ và $\vec{b}=\left(b_1 ; b_2 ; b_3\right)$ cùng phương khi và chỉ khi
$$
\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}
$$
(2) Để chứng minh ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng, ta chứng minh hai véc-tơ $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{A C}$ cùng phương, tức là tồn tại số thực $k$ sao cho
$$
\overrightarrow{A B}=k \overrightarrow{A C}
$$
Ví dụ 1. Trong không gian $O x y z$, cho các véc-tơ $\vec{a}=(5 ;-7 ; 2), \vec{b}=(0 ; 3 ; 4), \vec{c}=(-1 ; 2 ; 3)$. Tìm tọa độ các véc-tơ $\vec{u}=2 \vec{a}-\vec{b}, \vec{v}=3 \vec{a}+4 \vec{b}+2 \vec{c}$.
Lời giải.
Ta có $\left\{\begin{array}{c}2 \vec{a}=(10 ;-14 ; 4) \\ -\vec{b}=(0 ;-3 ;-4)\end{array} \Rightarrow \vec{u}=2 \vec{a}-\vec{b}=(10 ;-17 ; 0)\right.$. Vậy $\vec{u}=(10 ;-17 ; 0)$.
$\left\{\begin{array}{l}3 \vec{a}=(15 ;-21 ; 6) \\ 4 \vec{b}=(0 ; 12 ; 16) \\ 2 \vec{c}=(-2 ; 4 ; 6)\end{array} \Rightarrow \vec{v}=3 \vec{a}+4 \vec{b}+2 \vec{c}=(13 ;-7 ; 28)\right.$. Vậy $\vec{v}=(13 ;-7 ; 28)$.
