Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT An Giang
Với mục tiêu tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất về môn Toán để tham gia đội tuyển cấp tỉnh, Sở Giáo dục và Đào tạo An Giang đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia (HSG QG) môn Toán năm học 2022-2023. Đề thi gồm 4 câu hỏi tự luận, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức sâu rộng về đại số, giải tích và hình học để giải quyết các bài toán phân tích, chứng minh và tính toán phức tạp.
Thời gian làm bài 150 phút, đủ để các học sinh thể hiện năng lực tư duy logic, kỹ năng tính toán và chứng minh của mình. Kết quả kỳ thi sẽ là cơ sở để lựa chọn những ứng viên xuất sắc nhất tham gia đội tuyển cấp tỉnh, tiếp tục được đào tạo, bồi dưỡng chuyên sâu để chuẩn bị cho kỳ thi HSG QG môn Toán cấp quốc gia vào cuối năm học.
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT An Giang
Câu 1 (5,0 điểm).
Giải hệ phương trình
$$
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{x}+y=3 \\
\sqrt{y}+z=3-\sqrt{2} \\
\sqrt{z}+x=\sqrt{2}
\end{array}\right.
$$
Câu 2 (5,0 điểm).
Cho các số dương $x ; y ; z$ thỏa mãn $x y+y z+z x \leq 3 x y z$. Chứng minh rằng
$$
x^2 y+y^2 z+z^2 x+3 \geq 2(x+y+z)
$$
Câu 3 (5,0 điểm).
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn
$$
u_1=1 ; u_{n+1}-1=\frac{3 u_n}{u_n^2+u_n+1}, \forall n \in \mathbb{N}^*
$$
a) Chứng minh rằng $1 \leq u_n \leq 2, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
b) Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn và
$$
\lim u_n=2 \cos \frac{\pi}{9}
$$
