Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Trị
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12,
Chúng tôi, đội ngũ hdgmvietnam.org, xin được giới thiệu đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa môn Toán 12 THPT năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Trị. Đề thi này gồm 05 bài toán tự luận, với thời gian làm bài là 180 phút (không tính thời gian giao đề). Kỳ thi đã diễn ra vào thứ Tư, ngày 21 tháng 09 năm 2022.
Chúng tôi hy vọng đề thi này sẽ giúp các em ôn luyện và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi sắp tới. Chúc các em thi tốt và đạt kết quả cao nhất.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Trị
Câu 1. (5,0 diểm)
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3} x^3-m x^2+(3 m+4) x+2022$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
2. Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có $n$ con cá $(n<12)$ thì khối lượng trung bình mỗi con cá sau một vụ thu hoạch bằng $60 n-5 n^2(\mathrm{gam})$. Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ để thu được khối lượng cá lớn nhất?
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong một nhóm gồm 6 nam và 4 nữ để làm trực nhật. Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn có nhiều nhất 3 học sinh nam.
2. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(7)=16 f(1)$. Chứng minh rằng phương trình $4 f(x-1)-f(x+2)=0$ có nghiệm trên đoạn $[2 ; 5]$.
Câu 3. (5,5 điểm)
1. Cho hình chóp $S \cdot A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $3 a$, tam giác $S A B$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
a. Chứng minh rằng $S A \perp(S B C)$.
b. Biết góc giữa $S D$ và mặt phẳng $(S A B)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(S B D)$.
2. Cho tam giác $A B C$ thỏa mãn điều kiện: $2(\cos 2 A+\cos 2 B)+7=4(\cos A+\sqrt{2} \cos B)$. Tính số đo góc $C$.
