Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Cà Mau
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “bản nhạc” tri thức tuyệt vời – đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Cà Mau. Đây chắc chắn sẽ là một “bản giao hưởng” đầy thử thách và hấp dẫn cho những “nghệ sĩ” đam mê Toán học.
“Buổi hòa nhạc” này đã chính thức được “mở màn” vào ngày 02 tháng 10 năm 2022. Hãy “chuẩn bị nhạc cụ”, “lên dây đàn” và sẵn sàng “chơi” những “giai điệu” tri thức đầy mê hoặc. Chúng tôi tin rằng, với sự “luyện tập” không ngừng và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “trình diễn” được những “bản nhạc” tuyệt vời và gặt hái nhiều “tràng pháo tay” trong “buổi hòa nhạc” này.
Điểm đặc biệt của “bản giao hưởng” này là việc tuyển chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT. Đây sẽ là một “thử thách virtuoso” đầy hấp dẫn, đòi hỏi sự “tài hoa” và kỹ năng “chơi đàn” điêu luyện của các em.
Hãy “cầm” lấy “cây đàn” tri thức và sẵn sàng “chơi” những “nốt nhạc” đầy thử thách. Chúng tôi tin rằng, với nỗ lực không ngừng và tình yêu Toán học, các em sẽ “trình diễn” được những “bản nhạc” tuyệt vời và gặt hái nhiều thành công trên con đường chinh phục tri thức.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “đam mê nghệ thuật”, không ngừng “sáng tạo” và “biểu diễn” những “giai điệu” mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Cà Mau
Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình $x+1+\sqrt{x^2-4 x+1}=3 \sqrt{x}$.
Câu 2 (4,0 điểm). Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi :
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=1 \\
x_{n+1}=\frac{(2+\cos 2 \alpha) x_n+\cos ^2 \alpha}{(2-2 \cos 2 \alpha) x_n+2-\cos 2 \alpha}, \forall n \in \mathbb{N}^*
\end{array}\right.
$$
Đặt $s_n=\frac{1}{2 x_1+1}+\frac{1}{2 x_2+1}+\ldots+\frac{1}{2 x_n+1}$.
Tìm $\alpha$ để dãy số $\left(s_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3 (2,0 điểm). Hộp thứ nhất có 10 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Hộp thứ hai có 8 sản phẩm trong đó có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được ít nhất 3 sản phẩm tốt.
Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn $A B C \quad(A C>B C)$ có các đường cao $A H$ và $B K$ $(H \in B C, K \in A C)$. Trên đường tròn $(O)$ đường kính $A B$, về phía trong tam giác $A B C$, lấy điểm $D$ thay đổi. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác $A C D$ và $B C D$ lần lượt cắt lại đường thẳng $A B$ ở $E, F$. Giả sử $A H$ cắt $C E, C F$ lần lượt ở $M, Q$ và $B K$ cắt $C E, C F$ lần lượt ở $P, N$.
a) Chứng minh rằng các điểm $P, Q, D$ thẳng hàng.
b) Chứng minh tam giác $C P Q$ vuông.
c) Gọi $T$ là giao điểm của $C D$ và $M N$. Chứng minh rằng điểm $T$ luôn thuộc một đường tròn cố định khi điểm $D$ di động.