Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Nội
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc đua” trí tuệ đầy gay cấn – đề thi chọn đội tuyển thành phố dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hà Nội. Đây chắc chắn sẽ là một “chặng đua” đầy thử thách và kịch tính cho những “tay đua” đam mê Toán học.
“Cuộc đua” này sẽ diễn ra trong hai “chặng” đầy hấp dẫn: vòng 1 vào ngày 22/10/2022 và vòng 2 vào ngày 23/10/2022. Hãy “khởi động động cơ”, “siết chặt dây an toàn” và sẵn sàng “nhấn ga” để bước vào một “hành trình” tri thức đầy hứng khởi. Chúng tôi tin rằng, với sự “tăng tốc” không ngừng và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “về đích” với những thành tích ấn tượng và gặt hái nhiều “chiến thắng” trong “cuộc đua” này.
Điểm đặc biệt của “cuộc đua” này là việc tuyển chọn đội tuyển thành phố để “tranh tài” ở đấu trường học sinh giỏi Quốc gia. Đây sẽ là một “thử thách tốc độ” đầy hấp dẫn, đòi hỏi sự “bứt phá” và kỹ năng “lái xe” đỉnh cao của các em.
Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “tốc độ” và “sức bền” của bản thân, trở thành những “tay đua” Toán học đầy bản lĩnh. Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “cuộc đua” bổ ích và lý thú, giúp các em “rèn luyện” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần tốc độ”, không ngừng “tăng tốc” và “bứt phá” trên “đường đua” Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Nội
Bài 1 (5 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=\frac{4}{9}$ và $u_{n+1}=1+u_n-u_n \sqrt{u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2 (5 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho số $4 x^3+9 x^2-10 x-15$ là số chính phương.
Bài 3 (5 điểm)
Cho tam giác nhọn $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung nhỏ $A C$ lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $A B C D$ không là hình thang. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A O D$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $B O C$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $H$ và $O$. Gọi $I$ là giao điểm của $A C$ và $B D$.
a) Chứng minh đường thẳng $H I$ vuông góc với đường thẳng $H O$.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $C D$ và $N$ là hình chiếu của $I$ lên $B C$. Chứng minh bốn điểm $M, H, N$ và $C$ cùng thuộc một đường tròn.
