Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Bình Dương
Kính gửi quý thầy cô và các “siêu anh hùng” Toán học đầy tài năng,
Hdgmvietnam.org xin được “bật mí” một tin “sốt dẻo” – đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT dự thi cấp Quốc gia môn Toán năm học 2023 – 2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Dương. Đây chính là “cỗ máy thời gian” đưa các em đến với “tương lai” tươi sáng và rực rỡ trên đấu trường trí tuệ toàn quốc.
Hãy “mài gươm dũa kiếm” và sẵn sàng “ra trận” với một tinh thần “bất khuất”. Đây là thời khắc để các em “chứng tỏ” tài năng, “vượt qua chính mình” và “khẳng định” bản lĩnh của một “chiến binh” Toán học thực thụ. Hãy tự tin “tỏa sáng” và “giành lấy” suất trong đội tuyển “huyền thoại” của tỉnh nhà.
Quý thầy cô hãy là “người thầy” tận tâm, truyền “nhiệt huyết” và “bí kíp thần kỳ” cho các em. Sự dìu dắt “nhiệt tình” và tình yêu “vô bờ bến” của thầy cô dành cho Toán học sẽ là “nguồn năng lượng vô tận” giúp các em “chinh phục” mọi đỉnh cao.
Hdgmvietnam.org “vô cùng tự hào” được sát cánh cùng quý vị trong “cuộc phiêu lưu” này. Chúng tôi cam kết mang đến những thông tin “nóng hổi nhất” và tài liệu “độc nhất vô nhị” giúp quý vị có sự chuẩn bị “hoàn hảo” cho kỳ thi sắp tới.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh sẽ có một quá trình ôn luyện “bùng nổ” và gặt hái “mùa vàng” thành công trong kỳ thi này. Hãy biến những ngày tháng “chinh chiến” với Toán học trở thành “kỷ niệm” đáng tự hào trong “hành trang” tri thức của mình.
Cùng nhau “chinh phục” ước mơ và trở thành “huyền thoại” trên bầu trời Toán học Việt Nam!
Trân trọng,
Hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Bình Dương
Câu 1: (5 điểm). Cho dãy số $\left(x_{\mathrm{n}}\right)$ xác định bởi:
$$
x_1=\frac{1}{2} ; x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\sqrt{x_n^2+4 x_n}\right), \forall n \in \mathbb{N}^*
$$
a). Chứng minh rằng $\lim x_n=+\infty$.
b). Tính $\lim \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^2}$.
Câu 2: (5 điểm). Xét hàm số $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ đơn ánh và thỏa mãn
$$
f(x+2 y+f(x+y))=f(2 x)+f(3 y) \text { với mọi } x, y>0 .
$$
a) Tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn đề bài.
b) Giả sử $f\left(4 \sin ^4 x\right) f\left(4 \cos ^4 x\right) \geq f^2(1)$ với $x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(2023)$.
Câu 3: (5 điểm). Cho tam giác $A B C$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn ( $O$ ). Một đường tròn $\left(O^{\prime}\right)$ thay đổi, luôn đi qua $B, C$ và cắt các cạnh $A B, A C$ theo thứ tự ở $D, E$. Gọi $D^{\prime}, E^{\prime}$ lần lượt là các điểm đối xứng với $D, E$ qua trung điểm các cạnh $A B, A C$.
a) Chứng minh rằng trung điểm $D^{\prime} E^{\prime}$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
b) Trên cung nhỏ và cung lớn $B C$ của $(O)$, lần lượt lấy các điểm $R, S$ sao cho $(D E R),(D E S)$ tiếp xúc trong với $(O)$. Phân giác trong của các góc $B R C, B S C$ cắt nhau ở $K$. Chứng minh rằng đường tròn $(D E K)$ luôn tiếp xúc với đường thẳng $B C$.
