Xét tính bị chặn của dãy số
Xin chào các bạn học sinh lớp 11 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được giới thiệu đến các bạn một chủ đề toán học thú vị và quan trọng trong chương trình Toán 11 – đó chính là “Xét tính bị chặn của dãy số”. Đây là một khái niệm cơ bản nhưng rất hữu ích, giúp các bạn hiểu sâu hơn về bản chất của các dãy số và ứng dụng trong nhiều bài toán phức tạp hơn.
Chúng tôi sẽ cùng các bạn khám phá khái niệm này qua các ví dụ sinh động, giải thích dễ hiểu và bài tập thực hành. Hy vọng bài viết sẽ là người bạn đồng hành đắc lực, giúp các bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong môn Toán 11. Hãy cùng bắt đầu nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Xét tính bị chặn của dãy số
Dạng 3. Xét tính bị chă̆n của dãy số
– Để chứng minh dãy số $\left(u_n\right)$ bị chặn trên bởi $M$, ta chứng minh $u_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
– Để chứng minh dãy số $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới bởi $m$, ta chứng minh $u_n \geq m, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
– Để chứng minh dãy số bị chặn ta chứng minh nó bị chặn trên và bị chặn dưới.
– Nếu dãy số $\left(u_n\right)$ tăng thì bị chặn dưới bởi $u_1$.
– Nếu dãy số $\left(u_n\right)$ giảm thì bị chặn trên bởi $u_1$.
BÀI TẬP DẠNG 3
Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{3 n}{n^2+9}$ bị chặn trên bởi $\frac{1}{2}$.
Lời giải.
Với mọi $n \geq 1$, ta có $\frac{3 n}{n^2+9} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow n^2+9 \leq 6 n \Leftrightarrow(n-3)^2 \leq 0$ (đúng). Vậy dãy số đã cho bị chặn trên bởi $\frac{1}{2}$.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ xác đinh bởi $u_n=\frac{8 n+3}{3 n+5}$ là một dãy số bị chặn.
Lời giải.
Ta có $u_n>0, \forall n \geq 1$. Suy ra dãy số bị chặn dưới.
Mặt khác $u_n=\frac{8 n+3}{3 n+5}<\frac{8 n+3}{3 n}=\frac{8}{3}+\frac{1}{n}<\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}$. Do đó dãy số bị chặn trên bởi $\frac{11}{3}$. Vậy dãy số đã cho bị chặn.
Xét tính bị chặn của dãy số
