Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THPT đợt 1 năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Quảng Nam
Thân gửi quý thầy cô và các em học trò thân mến,
Với niềm hân hoan và tự hào, hdgmvietnam.org xin được giới thiệu đến quý vị bộ đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT đợt 1 năm học 2023 – 2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Nam. Kỳ thi đã diễn ra vào ngày 29/09/2023, mở ra một hành trình khám phá tri thức đầy thú vị cho các em học sinh.
Bộ đề thi là kết quả của quá trình nghiên cứu, biên soạn tỉ mỉ và chu đáo, nhằm tạo ra một sân chơi bổ ích, công bằng và thách thức cho tất cả các em học sinh. Các câu hỏi trong đề thi không chỉ đánh giá kiến thức mà còn kích thích tư duy sáng tạo, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề của các em.
Để hỗ trợ quý thầy cô và các em trong quá trình ôn luyện và đối chiếu kết quả, chúng tôi cũng cung cấp đáp án chi tiết và hướng dẫn chấm điểm. Tài liệu này sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về cách tiếp cận và giải quyết các dạng bài tập, đồng thời rút ra những bài học quý báu cho hành trình học tập sắp tới.
Hãy cùng nhau khám phá, chinh phục và tỏa sáng trong kỳ thi này. Chúng tôi tin tưởng rằng với sự nỗ lực, nhiệt huyết và tinh thần không ngừng học hỏi, các em sẽ đạt được những thành tích xuất sắc, làm rạng danh cho bản thân, gia đình và nhà trường.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh một năm học thành công, gặt hái nhiều niềm vui và thắng lợi trên con đường chinh phục tri thức.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THPT đợt 1 năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Quảng Nam
Câu 1 (3,0 điểm). Giải hệ phương trình
Câu 2 (2,0 điểm). Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định như sau: $\left\{\begin{array}{l}u_1>0 \\ u_{n+1}=\frac{1+u_n^2}{2 u_n^2}, \forall n \in \mathbb{N}^*\end{array}\right.$
Chứng minh dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn $A B C(A B<A C)$. Đường tròn $(O)$ lần lượt tiếp xúc với ba cạnh $A B, B C, C A$ tại ba điểm $M, N, K$. Gọi $S, R$ lần lượt là giao điểm của đường phân giác ngoài góc $A$ của tam giác $A B C$ với hai đường thẳng $K N, M N$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $M S$ và $K R$, đường thẳng $A N$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $J$.
a) Chứng minh $I$ thuộc $(O)$ và $\frac{\sin \widehat{M K N}}{\sin \widehat{K M N}}=\frac{K I}{K J}$.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A M K$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ tại điểm thứ hai là $D, O D$ cắt $M K$ tại $E$. Gọi $(T)$ là đường tròn đi qua $D$ và tiếp xúc với $B C$ tại $N$. Chứng minh $(T)$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ và $E N$ là đường phân giác của góc $B E C$.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 .
a) Xét đa thức $f(x)=(x+1)(x+2) \ldots(x+p-1)=x^{p-1}+a_{p-2} x^{p-2}+\ldots+a_1 x+(p-1)$ !.
Chứng minh $a_i \vdots p$ với mọi $i=1,2, \ldots, p-2$.
b) Chứng minh $\left(\frac{(p-1)!}{1}\right)^p+\left(\frac{(p-1)!}{2}\right)^p+\ldots+\left(\frac{(p-1)!}{p-1}\right)^p$ chia hết cho $p^3$.
Câu 5(3,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f(x+f(x+y))+f(x y)=x+f(x+y)+y f(x), \forall x, y \in \mathbb{R} .
$$
