Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ điểm M đến d lớn nhất, nhỏ nhất

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một bài toán hình học không gian vô cùng thú vị và bổ ích: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ điểm M đến d đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Đây là một dạng toán khá phổ biến trong chương trình Toán 12, đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt các kiến thức về phương trình đường thẳng, mặt phẳng và khoảng cách. Cùng nhau khám phá cách giải quyết bài toán này qua bài viết dưới đây nhé. Chúc các em học tập thật tốt và luôn đam mê với môn Toán!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ điểm M đến d lớn nhất, nhỏ nhất

Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ điểm M đến d lớn nhất, nhỏ nhất

Phương pháp giải:

+ Kẻ $M K \perp d ; M K \perp(P) \Rightarrow M K=d(M ; \mathrm{d})$ và điểm $\mathrm{H}$ cố định.
+ Kẻ $M K \perp d ; M H \perp(P) ; \Rightarrow M K=d(M ; \mathrm{d})=d$ và điểm $\mathrm{H}$ cố định.
Ta có: $M H \leq M K \leq M A \Leftrightarrow M H \leq d \leq M A$.
+) Ta có $M K \leq M A \Rightarrow d(M ; d)_{\max }=M A \Leftrightarrow K \equiv A$.
Khi đó đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$, đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $A M$, suy ra $d$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]$
$+)$ Mặt khác, lại có $M K \geq M H \Rightarrow d(M ; d)_{\min }=M H \Leftrightarrow H \equiv K$.
Khi đó đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$, đi qua $\mathrm{A}$ và đi qua hình chiếu $H$ của $M$. Suy ra $d=(P) \cap(M H A)$. Trong đó $\overrightarrow{n\left({ }_{M H A}\right)}=\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]$
Khi đó đường thẳng $d$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}}=\left[\overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}} ;\left[\overrightarrow{n_P} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]\right]$
(Chú ý: Trong trường hợp $d_{\min }$ thì $d$ chính là hình chiếu vuông góc của $M A$ trên mặt phẳng $(P)$ ).

Ví dụ 1

Cho các điểm $M(1 ; 0 ; 0) ; A(0 ; 2 ;-3)$ và $(P): x+2 y-z-1=0$. Lập phương trình đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, đi qua $A$ và cách $M$ một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}}(1 ; 2 ;-1) ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}=(1 ;-2 ; 3)$.
+) Kẻ $M K \perp d ; M K \perp(P) \Rightarrow M K=d(M ; \mathrm{d})=d$ và điểm $\mathrm{H}$ cố định.
Ta có: $M H \leq M K \leq M A \Leftrightarrow M H \leq d \leq M A$.
$+)$ Ta có $M K \leq M A \Rightarrow d(M ; d)_{\max }=M A \Leftrightarrow K \equiv A$.
Khi đó đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$, đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $A M$, suy ra $d$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]=4(-1 ; 1 ; 1) \Rightarrow d: \frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$ và $d_{\max }=M A=\sqrt{14}$.
+) Mặt khác, lại có $M K \geq M H \Rightarrow d(M ; d)_{\min }=M H \Leftrightarrow H \equiv K$.
Khi đó đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$, đi qua $\mathrm{A}$ và đi qua hình chiếu $H$ của $M$. Suy ra $d=(P) \cap(M H A)$. Trong đó $\overrightarrow{\left.n_{M H A}\right)}=\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]=4(1 ;-1 ;-1)$
Khi đó đường thẳng $d$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}}=\left[\overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}} ;\left[\overrightarrow{n_P} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]\right]=-12(1 ; 0 ; 1)$

Ví dụ 2

Cho các điểm $A(1 ; 2 ; 4) ; A(1 ; 2 ;-2)$ và $(P): x+y-z+1=0$. Lập phương trình đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, đi qua $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_{(\mathbb{P})}}(1 ; 1 ;-1) ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0 ; 0 ;-6)=-6(0 ; 0 ; 1)$.
Gọi $H ; N$ lần lượt là hình chiếu của $B$ trên $(P)$ và $d$.
Khi đó $d(B ;(d))=B N$
Ta có: $\mathrm{BH} \leq B N \leq B A \Leftrightarrow B H \leq d \leq B A$.
$$
\begin{aligned}
& +) d_{\max } \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}}=\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}\right]=-6(1 ;-1 ; 0) . \\
& \Rightarrow d:\{x=1+t ; y=2-t ; z=4\} . \\
& \left.+d_{\min } \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}}=\left[\overrightarrow{n_{(\mathbb{P})}} ; \overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}\right]\right]=6(1 ; 1 ; 2) . \\
& \Rightarrow d:\{x=1+t ; y=2+t ; z=4+2 t\} .
\end{aligned}
$$

Ví dụ 3

[Đề luyện thi đại học Vinh 2017] Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$ cho hai điểm $M(-1 ; 2 ; 1)$; $A(1 ; 2 ;-3)$ và đường thẳng $d: \frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$ vec tơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, vuông góc với đường thẳng $d$ đồng thời cách điểm $A$ một khoảng lớn nhất.
A. $\vec{u}=(4 ;-3 ; 2)$.
B. $\vec{u}=(1 ; 0 ; 2)$.
C. $\vec{u}=(2 ; 0 ;-4)$.
D. $\vec{u}=(2 ; 2 ;-1)$.

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$ là: $(P)=2 x+2 y-z-1=0$ khi đó $(P)$ chứa $\Delta$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ xuống $(P)$ và $N$ là hình chiếu vủa $A$ xuống $\Delta$. Ta có: $A H \leq A N \leq A M$.
Khi đó $A N_{\max } \Leftrightarrow N \equiv M$
Do
$\Delta \perp d ; \Delta \perp A M \Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{u_d} ; \overrightarrow{A M}\right]=(-8 ; 6 ;-4)$. Chọn A