Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay
Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một chủ đề hấp dẫn trong chương trình Toán 12 – Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay. Đây là một phần quan trọng trong việc nắm vững kiến thức toán học và ứng dụng vào thực tiễn. Thông qua bài viết này, chúng tôi mong muốn giúp các em hiểu rõ hơn về khái niệm, công thức tính và cách vận dụng linh hoạt tích phân để giải quyết các bài toán liên quan đến thể tích khối tròn xoay. Hãy cùng chúng tôi khám phá và chinh phục chủ đề thú vị này nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay
DẠNG 4. Thể tích khối tròn xoay
Phương pháp giải.
Loại 1
Vật thể tròn xoay sinh ra khi quanh quanh trục $O x$ hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=$ $f(x), y=0, x=a, x=b$ với $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$.
Áp dụng công thức: $V=\pi \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x$
Loại 2
Vật thể tròn xoay sinh ra khi quanh quanh trục $O x$ hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=$ $f(x), y=g(x), x=a, x=b$ với $f(x), g(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$ và $0 \leq g(x) \leq f(x) \forall x \in[a ; b]$.
Áp dụng công thức:
$$
V=\pi \int_a^b\left[f^2(x)-g^2(x)\right] \mathrm{d} x
$$
Loại 3
Vật thể tròn xoay sinh ra khi quanh quanh trục $O x$ hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=$ $f(x), y=g(x)$ với $f(x), g(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$.
Bước 1: Giải phương trình $f(x)=g(x)$ để tìm hai cận $a, b$.
Bước 2: Giả sử $0 \leq g(x) \leq f(x) \forall x \in[a ; b]$ và $f(x), g(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$.
Áp dụng công thức: $V=\pi \int_a^b\left[f^2(x)-g^2(x)\right] \mathrm{d} x$
Loại 4
Vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục $O y$.
Cách làm hoàn toàn tương tự Loại $1,2,3$.
Chú ý: Nên vẽ hình để xác định công thức thể tích cho chính xác nhất.
Ví dụ 14. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}, y=0, x=2$ và $x=4$ quay quanh trục $O x$.
Lời giải.
Áp dụng công thức ta có: $V=\pi \int_2^4(\sqrt{x})^2 \mathrm{~d} x=\left.\pi \cdot \frac{x^2}{2}\right|_2 ^4=6 \pi$ (dvtt).
Ví dụ 15. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x ; y=4 x$; $x=1 ; x=2$ quay quanh trục $O x$.
Lời giải.
Áp dụng công thức ta có $V=\pi \int_1^2\left[(4 x)^2-x^2\right] \mathrm{d} x=\pi \int_1^2 15 x^2 \mathrm{~d} x=\left.15 \pi \cdot \frac{x^3}{3}\right|_1 ^2=35 \pi$ (dvtt).
Ví dụ 16. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=5-x^2$ và $y=1$ quay quanh trục $O x$.
Lời giải.
Giao điểm của hai đường $y=5-x^2$ và $y=1$ có hoành độ thỏa mãn
$$
5-x^2=1
$$
Giải phương trình này, ta được hai nghiệm $x=2, x=-2$.
Mặt khác, với $-2<x<2 \Leftrightarrow x^2<4 \Leftrightarrow 5-x^2>1 \Rightarrow\left(5-x^2\right)^2-1>0$. Khi đó, thể tích cần tìm là
$$
\begin{aligned}
V=\pi \int_{-2}^2\left[\left(5-x^2\right)^2-1^2\right] \mathrm{d} x & =\pi \int_{-2}^2\left(x^4-10 x^2+24\right) \mathrm{d} x \\
& =\left.\pi \cdot\left(\frac{x^5}{5}-10 \cdot \frac{x^3}{3}+24 x\right)\right|_{-2} ^2=\frac{832 \pi}{15} \text { (dvtt). }
\end{aligned}
$$
Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay
