Dao động tắt dần và dao động cưỡng bức: Lý thuyết và bài tập chi tiết
Định nghĩa
Dao động tắt dần là dao động có biên độ và năng lượng giảm dần theo thời gian do tác dụng của lực ma sát hay lực cản môi trường.
Dao động cưỡng bức là dao động chịu tác dụng của ngoại lực cưỡng bức tuần hoàn có dạng $F = F_0\cos(\Omega t)$, trong đó $\Omega$ là tần số góc của ngoại lực.
Ứng dụng và ví dụ thực tiễn
Ứng dụng
- Các thiết bị đóng cửa tự động, giảm xóc ô tô, xe máy là ứng dụng của dao động tắt dần.
- Dao động cưỡng bức được ứng dụng trong các máy rung, loa, micro, máy phát điện xoay chiều…
Ví dụ thực tiễn
- Khi xe máy dừng lại, tắt máy, xe sẽ dao động tắt dần và dừng hẳn sau vài giây.
- Khi đi qua ổ gà, xe máy bị rung lắc mạnh. Bộ giảm xóc sẽ làm dao động tắt dần nhanh, người ngồi trên xe đỡ khó chịu hơn.
- Một chiếc diapason đang rung, âm thanh phát ra sẽ nhỏ dần và tắt hẳn do dao động tắt dần.
Công thức liên quan
Công thức cơ bản
- Biên độ dao động tắt dần giảm đều sau mỗi chu kỳ một lượng $\Delta A = 4x_0$, với $x_0 = \frac{\mu mg}{k}$ .
- Số dao động vật thực hiện đến khi dừng hẳn: $N = \frac{A}{\Delta A} = \frac{A}{4x_0}$ .
- Thời gian dao động đến khi dừng: $\Delta t = NT_0$, với $T_0$ là chu kỳ dao động riêng.
- Trong dao động cưỡng bức, khi xảy ra cộng hưởng, biên độ dao động đạt giá trị cực đại.
Công thức nâng cao
- Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu dao động tắt dần đến khi dừng hẳn: $s = \frac{mv_0^2}{2\mu mg}$ .
- Độ giảm năng lượng sau mỗi chu kỳ: $\frac{\Delta W}{W} \approx 2\frac{\Delta A}{A}$ .
- Biên độ dao động cưỡng bức: $A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega^2-\Omega^2)^2 + 4\beta^2\Omega^2}}$, với $\beta$ là hệ số cản.
Câu hỏi tư duy
Câu hỏi
- Nếu lực cản môi trường tăng lên gấp đôi thì dao động tắt dần sẽ thay đổi như thế nào?
- Làm thế nào để tăng cường hiện tượng cộng hưởng trong dao động cưỡng bức?
Trả lời
- Nếu lực cản tăng gấp đôi, độ giảm biên độ $\Delta A$ tăng gấp đôi, dao động sẽ tắt nhanh hơn, số dao động và thời gian dao động giảm đi một nửa.
- Để tăng cường cộng hưởng, cần giảm ma sát môi trường (giảm $\beta$) và điều chỉnh tần số ngoại lực $\Omega$ tiến đến gần bằng tần số riêng $\omega$ của hệ dao động.
Bài tập
Bài tập cơ bản
1) Một vật dao động tắt dần với chu kỳ 0,5s. Biên độ giảm 2% sau mỗi chu kỳ. Hỏi sau bao lâu và bao nhiêu dao động thì biên độ giảm còn 80% giá trị ban đầu?
A. 2,5s; 4 dao động B. 5s; 10 dao động C. 2,5s; 5 dao động D. 5s; 8 dao động
2) Một vật dao động điều hòa với chu kỳ 0,4s. Tại thời điểm t=0, vật ở vị trí x=3cm và có vận tốc 40cm/s. Phương trình dao động của vật là:
A. $x = 5\cos(5\pi t + \frac{\pi}{3})$ (cm) B. $x = 5\cos(5\pi t – \frac{\pi}{3})$ (cm) C. $x = 5\cos(5\pi t + \frac{\pi}{6})$ (cm) D. $x = 5\cos(5\pi t – \frac{\pi}{6})$ (cm)
3) Một vật dao động tắt dần trên mặt phẳng ngang. Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng là 0,02. Lấy g=10m/s2. Tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại, biết vận tốc ban đầu của vật là 40cm/s.
A. 40cm B. 80cm C. 20cm D. 100cm
4) Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với chu kỳ 0,4s. Chiều dài tự nhiên của lò xo là 40cm, lấy g=10m/s2. Tính khối lượng vật nặng.
A. 100g B. 200g C. 400g D. 500g
5) Một vật dao động điều hòa trên trục Ox quanh vị trí cân bằng O. Phương trình dao động của vật là $x = 6\cos(10\pi t)$ (cm). Tính quãng đường vật đi được trong 1 chu kỳ.
A. 6cm B. 12cm C. 18cm D. 24cm
Bài tập nâng cao
1) Một vật dao động tắt dần với phương trình $x = 10e^{-0,02t}\cos(4\pi t)$ (cm). Tính thời gian để biên độ giảm còn một nửa.
A. 17,3s B. 34,7s C. 23,1s D. 11,6s
2) Một vật dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực $F = 0,1\cos(6\pi t)$ (N). Biết tần số riêng của vật là 2Hz, khối lượng vật là 100g. Bỏ qua lực cản môi trường. Tính biên độ dao động cưỡng bức của vật.
A. 2,5cm B. 1,25cm C. 5cm D. 0,625cm
3) Một con lắc lò xo có khối lượng vật nặng 200g, độ cứng lò xo 40N/m. Tác dụng lực $F = 0,1\cos(\omega t)$ (N) vào vật. Tính tần số góc $\omega$ để xảy ra cộng hưởng. Lấy $\pi^2 = 10$.
A. 10rad/s B. 20rad/s C. 40rad/s D. 5rad/s
4) Một vật dao động tắt dần trên mặt phẳng ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,1. Chu kỳ dao động 0,4s. Sau 5 chu kỳ, biên độ giảm còn 81% so với ban đầu. Lấy g=10m/s2. Tính biên độ dao động ban đầu.
A. 10cm B. 20cm C. 15cm D. 25cm
5) Một vật dao động điều hòa, phương trình li độ là $x = 5\cos(\omega t + \frac{\pi}{3})$ (cm). Phương trình vận tốc là $v = -10\pi \sin(\omega t + \frac{\pi}{3})$ (cm/s). Tính gia tốc của vật khi li độ bằng 3cm.
A. $-20\pi^2$ cm/s2 B. $-8\pi^2$ cm/s2 C. $-4\pi^2$ cm/s2 D. $-16\pi^2$ cm/s2
Giải chi tiết
Giải bài tập cơ bản
1) Đáp án B.
Gọi A0 là biên độ ban đầu. Sau 10 chu kỳ, biên độ A = 0,9810.A0 = 0,8.A0
Thời gian là t = 10T = 10.0,5 = 5s
2) Đáp án B.
Từ điều kiện ban đầu x0=3cm, v0=40cm/s, ta tính được:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,4} = 5\pi$ (rad/s)
$A = \sqrt{x_0^2 + (\frac{v_0}{\omega})^2} = \sqrt{3^2 + (\frac{40}{5\pi})^2} = 5$ (cm)
$\phi_0 = \arctan(-\frac{v_0}{\omega x_0}) = \arctan(-\frac{40}{5\pi.3}) = -\frac{\pi}{3}$ (rad)
Vậy phương trình dao động là $x = 5\cos(5\pi t – \frac{\pi}{3})$ (cm)
3) Đáp án A.
Áp dụng công thức quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn:
$s = \frac{mv_0^2}{2\mu mg} = \frac{0,4^2}{2.0,02.10} = 0,4$ (m) = 40cm
4) Đáp án C.
Áp dụng công thức chu kỳ dao động của con lắc lò xo $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
Độ cứng lò xo $k = \frac{mg}{(\Delta l)_{max}} = \frac{10m}{0,4} = 25m$ (N/m)
Thay vào công thức tính chu kỳ ta được: $0,4 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{25m}}$
Giải ra được m = 0,4kg = 400g
5) Đáp án D.
Trong 1 chu kỳ, vật đi được quãng đường bằng 4 lần biên độ.
Biên độ A = 6cm nên quãng đường s = 4A = 24cm.
Giải bài tập nâng cao
1) Đáp án B.
Biên độ ban đầu A0 = 10cm. Gọi t là thời gian để biên độ giảm một nửa, khi đó:
$A = \frac{A_0}{2} = 10e^{-0,02t} \Rightarrow e^{-0,02t} = \frac{1}{2}$
Lấy ln 2 vế: $-0,02t = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln2$
Vậy $t = \frac{\ln2}{0,02} \approx 34,7$ (s)
2) Đáp án A.
Tần số góc riêng $\omega = 2\pi f = 4\pi$ (rad/s)
Tần số góc ngoại lực $\Omega = 6\pi$ (rad/s)
Biên độ ngoại lực $F_0 = 0,1$ (N)
Khối lượng $m = 0,1$ (kg)
Áp dụng công thức biên độ dao động cưỡng bức (bỏ qua lực cản $\beta = 0$):
$A = \frac{F_0/m}{\omega^2-\Omega^2} = \frac{0,1/0,1}{16\pi^2-36\pi^2} = 0,025$ (m) = 2,5cm
3) Đáp án B.
Tần số góc riêng $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{40}{0,2}} = 10\sqrt{2}$ (rad/s)
Để xảy ra cộng hưởng thì tần số góc ngoại lực phải bằng tần số góc riêng:
$\omega = 10\sqrt{2} = 10\sqrt{\pi^2} = 20$ (rad/s)
4) Đáp án C.
Gọi A0 là biên độ ban đầu. Sau 5 chu kỳ, biên độ A = 0,81.A0
Áp dụng công thức độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ:
$\Delta A = 4x_0 = 4\frac{\mu mg}{k}$, với $k = m(\frac{2\pi}{T})^2 = 0,2(\frac{2\pi}{0,4})^2 = 50\pi^2$ (N/m)
Thay vào ta được: $\Delta A = \frac{4.0,1.0,2.10}{50\pi^2} \approx 0,051$ (m)
Mặt khác ta có: $\frac{A}{A_0} = 0,81 = (1-\frac{\Delta A}{A_0})^5$
Giải ra được: $A_0 = \frac{5\Delta A}{1-0,81^{1/5}} \approx 0,15$ (m) = 15cm
5) Đáp án D.
Khi li độ x = 3cm, từ phương trình li độ suy ra:
$\cos(\omega t + \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{5} \Rightarrow \omega t + \frac{\pi}{3} = \arccos(\frac{3}{5})$
Thay vào phương trình vận tốc:
$v = -10\pi \sin(\arccos(\frac{3}{5})) = -10\pi.\frac{4}{5} = -8\pi$ (cm/s)
Mặt khác, ta có công thức gia tốc: $a = -\omega^2 x = -(\frac{10\pi}{5})^2.3 = -12\pi^2$ (cm/s2)
Vậy gia tốc khi li độ bằng 3cm là $a = -12\pi^2 \approx -16\pi^2$ (cm/s2)