Lời giải và bình luận đề thi VMO 2018
Tài liệu “Hướng dẫn giải và bình luận đề thi VMO 2018” là một tài nguyên quý giá dành cho học sinh và giáo viên trong lĩnh vực toán học. Được biên soạn bởi nhóm Epsilon, gồm các thầy cô giáo uy tín như Trần Nam Dũng, Võ Quốc Bá Cẩn, Lê Phúc Lữ, Trần Quang Hùng, Nguyễn Lê Phước và Nguyễn Văn Huyện, tài liệu này cung cấp hướng dẫn chi tiết và bình luận sâu sắc về 7 bài toán trong kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia THPT năm 2018 (VMO 2018).
Kỳ thi VMO 2018 diễn ra trong 2 ngày 11 và 12/01/2018, thu hút sự tham gia của học sinh giỏi toán từ khắp nơi trên cả nước. Đây là một sân chơi trí tuệ uy tín, thử thách khả năng giải toán của các em học sinh. Tài liệu “Hướng dẫn giải và bình luận đề thi VMO 2018” là một công cụ hữu ích để học sinh ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi, cũng như để giáo viên tham khảo và nâng cao chất lượng giảng dạy.
Với 22 trang nội dung phong phú, tài liệu này không chỉ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài toán, mà còn bao gồm những bình luận sâu sắc về các phương pháp giải, những điểm cần lưu ý và những kiến thức toán học liên quan. Điều này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, mà còn mở rộng tầm nhìn và thúc đẩy sự phát triển tư duy logic và sáng tạo trong lĩnh vực toán học.
Tài liệu “Hướng dẫn giải và bình luận đề thi VMO 2018” là một tài nguyên quý giá, không chỉ dành cho học sinh tham gia kỳ thi VMO 2018, mà còn cho tất cả những ai yêu thích và muốn nâng cao trình độ toán học của mình. Với sự đóng góp của các chuyên gia trong lĩnh vực toán học, tài liệu này chắc chắn sẽ trở thành một công cụ hữu ích và đáng tin cậy trong quá trình học tập và nghiên cứu toán học.
Trích dẫn Lời giải và bình luận đề thi VMO 2018
Bài 1 (5.0 điểm). Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi $x_1=2$ và
$$
x_{n+1}=\sqrt{x_n+8}-\sqrt{x_n+3}, \quad \forall n \geq 1 .
$$
a) Chứng minh rằng dãy số $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mỗi số nguyên dương $n$, chứng minh rằng $n \leq x_1+x_2+\cdots+x_n \leq n+1$.
Bài 2 (5.0 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ và $D$ là một điểm trên cạnh $B C$. Lấy điểm $E$ trên cạnh $A B$ và lấy điểm $F$ trên cạnh $A C$ sao cho $\angle D E B=\angle D F C$. Các đường thẳng $D F, D E$ lần lượt cắt $A B, A C$ tại $M, N$. Gọi $\left(I_1\right),\left(I_2\right)$ tương ứng là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $D E M, D F N$. Ký hiệu $\left(J_1\right)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $\left(I_1\right)$ tại $D$ và tiếp xúc với $A B$ tại $K,\left(J_2\right)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $\left(I_2\right)$ tại $D$ và tiếp xúc với $A C$ tại $H, P$ là giao điểm của $\left(I_1\right)$ và $\left(I_2\right), Q$ là giao điểm của $\left(J_1\right)$ và $\left(J_2\right)(P, Q$ khác $D)$.
a) Chứng minh rằng $D, P, Q$ thẳng hàng.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A E F$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $A H K$ và đường thẳng $A Q$ lần lượt tại $G$ và $L(G, L$ khác $A)$. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $D Q G$ cắt đường thẳng $E F$ tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $D L G$.
