Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Chào các em học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, đội ngũ giáo viên nhiệt huyết của hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11 – Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. Đây là một kiến thức nền tảng, giúp các em hiểu sâu hơn về đặc tính của các hàm số. Thông qua bài viết này, chúng tôi mong muốn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục đỉnh cao tri thức, giúp các em trang bị đầy đủ hành trang toán học cho những chặng đường phía trước. Hãy cùng chúng tôi khám phá và làm chủ kiến thức này nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$. Để xét tính liên tục của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0 \in D$, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tính $f\left(x_0\right)$.
Bước 2. Tìm $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$.
Bước 3. So sánh và rút ra kết luận.
– Nếu $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ thì hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0$.
– Nếu $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \neq f\left(x_0\right)$ thì hàm số $f(x)$ không liên tục (gián đoạn) tại điểm $x_0$.
BÀI TẬP DẠNG 1
Ví dụ 1. Cho hàm số: $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^2-1}{x-1} & nếu & x \neq 1 \\ a & nếu & x=1\end{array}\right.$ với $a$ là hằng số.
Xét tính liên tục của hàm số tại $x_0=1$.
Lời giải.
Ta có:
– $f(1)=a$.
– $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1}(x+1)=2$.
Nếu $a=2$ thì hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0=1$.
Nếu $a \neq 2$ thì hàm số $f(x)$ gián đoạn tại điểm $x_0=1$.
Ví dụ 2. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2+1 & nếu x>0 \\ x & nếu x \leq 0\end{array}\right.$.
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x_0=0$.
Lời giải.
Ta có:
– $f(0)=0$.
– $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^2+1\right)=1$.
– $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} x=0$.
Ta có: $f(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$. Vậy hàm số $f(x)$ gián đoạn tại điểm $x=0$.
Ví dụ 3. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-6 x+5}{x^2-1} & nếu x \neq 1 \\ -2 & nếu x=1\end{array}\right.$.
Xét tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại điểm $x_0=1$.
Lời giải.
Ta có: $f(1)=-2$.
$$
\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-6 x+5}{x^2-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-5)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-5}{x+1}=-2=f(1).
$$
Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$.
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
