Xét sự tăng giảm của dãy số
Chào các em học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một chủ đề thú vị trong chương trình Toán 11 – Xét sự tăng giảm của dãy số. Đây là một kiến thức quan trọng, không chỉ giúp các em nắm vững lý thuyết mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Thông qua bài viết này, đội ngũ hdgmvietnam.org hy vọng sẽ mang đến cho các em những kiến thức bổ ích, những ví dụ sinh động và những bài tập thực tế. Hãy cùng chúng mình bắt đầu hành trình chinh phục đỉnh cao của Toán học nhé! Đảm bảo rằng, sau bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi đối mặt với dãy số và ứng dụng kiến thức vào các bài toán thực tế.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Xét sự tăng giảm của dãy số
Dạng 2. Xét sự tăng giảm của dãy số
a) Phương pháp 1: Xét dấu của hiệu số $u_{n+1}-u_n$.
– Nếu $u_{n+1}-u_n>0, \forall n \in \mathbb{N}^*$ thì $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.
– Nếu $u_{n+1}-u_n<0, \forall n \in \mathbb{N}^*$ thì $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.
b) Phương pháp 2: Nếu $u_n>0, \forall n \in \mathbb{N}^*$ thì ta có thể so sánh thương $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ với 1 .
– Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ thì $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.
– Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ thì $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.
Nếu $u_n<0, \forall n \in \mathbb{N}^*$ thì ta có thể so sánh thương $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ với 1 .
– Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ thì $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.
– Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ thì $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.
c) Phương pháp 3: Nếu dãy số $\left(u_n\right)$ cho bởi hệ thức truy hồi thì thường dùng phương pháp quy nạp để chứng minh $u_{n+1}>u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*$ (hoặc $u_{n+1}
BÀI TẬP DẠNG 2
Ví dụ 1. Xét tính tăng giảm của dãy số sau $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{2 n+1}{n+1}$.
Lời giải.
Ta có: $u_n=\frac{2 n+1}{n+1}=2-\frac{1}{n+1}$.
$u_{n+1}-u_n=\left(2-\frac{1}{n+1+1}\right)-\left(2-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}>0, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.
Ví dụ 2. Xét tính tăng giảm của dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{4^n-1}{4^n+5}$.
Lời giải.
Ta có $u_n=\frac{4^n-1}{4^n+5}=1-\frac{6}{4^n+5}$.
$$
u_{n+1}-u_n=\left(1-\frac{6}{4^{n+1}+5}\right)-\left(1-\frac{6}{4^n+5}\right)=\frac{6}{4^n+5}-\frac{6}{4^{n+1}+5}>0, \forall n \in \mathbb{N}^* \text {. }
$$
Vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.
Ví dụ 3. Xét tính tăng giảm của dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{n}{3^n}$.
Lời giải.
Ta có $u_n=\frac{n}{3^n}>0, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Xét thương $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{3^{n+1}}: \frac{n}{3^n}=\frac{n+1}{3 . n}<1, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.
Xét sự tăng giảm của dãy số
