Xác định tọa độ của một véc-tơ và một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Chào các em học sinh lớp 10 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 10 – Xác định tọa độ của một véc-tơ và một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đây là một kỹ năng cơ bản nhưng rất hữu ích, giúp các em nắm vững nền tảng để tiếp cận các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Qua bài viết này, đội ngũ hdgmvietnam.org hy vọng sẽ mang đến cho các em những kiến thức bổ ích, trình bày một cách dễ hiểu và sinh động. Hãy cùng chúng mình bắt đầu hành trình chinh phục môn Toán thú vị này nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Xác định tọa độ của một véc-tơ và một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Dạng 2. Xác định tọa độ cưa một véc-tơ và một điểm trên mặt phẳng tọa độ $O x y$
Trong mặt phẳng $O x y$, với điểm $M$ tùy ý, luôn tồn tại duy nhất hai số thực $x, y$ sao cho $\overrightarrow{O M}=x \vec{i}+y \vec{j}$. Bộ hai số thực $(x ; y)$ được gọi là tọa độ của véc-tơ $\overrightarrow{O M}$, ký hiệu $\overrightarrow{O M}=(x ; y)$ hay $\overrightarrow{O M}(x ; y)$.
– Tọa độ của véc-tơ đơn vị $\vec{i}$ là $(1 ; 0)$, tức là $\vec{i}=(1 ; 0)$.
– Tọa độ của véc-tơ đơn vị $\vec{j}$ là $(0 ; 1)$, tức là $\vec{j}=(0 ; 1)$.
– Tọa độ của véc-tơ-không là $(0 ; 0)$, tức là $\overrightarrow{0}=(0 ; 0)$.
Nếu biết tọa độ của hai điểm $A, B$ thì ta tính tọa độ của véc-tơ $\overrightarrow{A B}$ theo công thức
$$
\overrightarrow{A B}=\left(x_B-x_A ; y_B-y_A\right) \text {. }
$$

BÀI TẬP DẠNG 2
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $O x y$, cho hình bình hành $A B C D$ có $A(3 ; 2), B(2 ;-1), C(-2 ;-2)$. Tìm tọa độ điểm $D$.
Lời giải.
Gọi $D(x ; y)$. Ta có $\overrightarrow{A D}=(x-3 ; y-2), \overrightarrow{B C}=(-4 ;-1)$.
Vı̀ $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}$ nên $\left\{\begin{array}{l}x-3=-4 \\ y-2=-1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=1\end{array}\right.\right.$
Vậy tọa độ điểm $D$ là $(-1 ; 1)$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng $O x y$, cho tam giác $A B C$. Gọi $M(4 ;-1), N(3 ; 0)$ và $P(4 ; 2)$ lần lượt là trung điểm các cạnh $B C, C A$ và $A B$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $A B C$.
Lời giải.
Ta có $\overrightarrow{N A}=\left(x_A-3 ; y_A\right), \overrightarrow{M P}=(0 ; 3)$.
Vì $N A P M$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{N A}=\overrightarrow{M P}$
$$
\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ x _ { A } – 3 = 0 } \\
{ y _ { A } = 3 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x_A=3 \\
y_A=3 .
\end{array}\right.\right.
$$
Vậy tọa độ điểm $A$ là $(3 ; 3)$.
Tương tự, từ $\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{P N}, \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{N P}$ ta tính được $B(5 ; 1), C(3 ;-3)$.

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng $O x y$, cho hình bình hành $A B C D$ có $A D=3$ và chiều cao ứng với cạnh $A D$ bằng 2 góc $\widehat{B A D}=30^{\circ}$. Chọn hệ trục tọa độ $(A ; \vec{i}, \vec{j})$ sao cho $\vec{i}$ và $\overrightarrow{A D}$ cùng hướng. Tìm tọa độ của các véc-tơ $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C D}$ và $\overrightarrow{A C}$.
Lời giải.
Kẻ $B H \perp A D$. Ta có $B H=2, A B=4, A H=2 \sqrt{3}$.
Do đó ta có $A(0 ; 0), B(2 ; 2), C(5 ; 2), D(3 ; 0)$.
Suy ra $\overrightarrow{A B}=(2 ; 2), \overrightarrow{B C}=(3 ; 0), \overrightarrow{C D}=(-2 ;-2), \overrightarrow{A C}=(5 ; 2)$.