Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng
Chào các em học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, đội ngũ giáo viên tại hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng. Đây là một kỹ năng không thể thiếu giúp các em nắm vững kiến thức và áp dụng linh hoạt vào các bài toán. Chúng tôi sẽ hướng dẫn các em từng bước một cách dễ hiểu, sinh động qua những ví dụ minh họa. Hãy cùng chúng tôi khám phá và chinh phục bài học thú vị này nhé! Chúc các em học tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong môn Toán.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng
DẠNG 2. VIẾT PTTT KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC HOẶC SONG SONG, VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG.
PHƯƠNG PHÁP:
– Gọi $M\left(x_0 ; y_0\right) \in(C)$ là tiếp điểm.
– Ta có $k=y^{\prime}\left(x_0\right)=a$, giải phương trình $y^{\prime}\left(x_0\right)=a \Rightarrow x_0 \Rightarrow y_0$.
Nhắc lại:
o $d_1: y=a_1 x+b_1 \Rightarrow k_{d_1}=a_1$
o $d_1: y=a_1 x+b_1 \Rightarrow k_{d_1}=a_1$
o $d_1 / / d_2 \Rightarrow k_{d_1}=k_{d_2} \Leftrightarrow a_1=a_2$
o $d_1 \perp d_2 \Rightarrow k_{d_1} \cdot k_{d_2}=-1 \Leftrightarrow a_1 \cdot a_2=-1$
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hàm số $y=\frac{x}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ với $(C)$ biết hệ số góc $k=1$.
Lời giải
Tập xác định $D=\mathbb{R}$
Gọi $M\left(x_0 ; y_0\right)$ là tiếp điểm $\Rightarrow y^{\prime}\left(x_0\right)=k$
Ta có: $y^{\prime}=\frac{1}{(x+1)^2} \Rightarrow k=\frac{1}{\left(x_0+1\right)^2}=1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_0=0 \Rightarrow y_0=0 \Rightarrow M_1(0 ; 0) \\ x_0=-2 \Rightarrow y_0=2 \Rightarrow M_2(-2 ; 2)\end{array}\right.$
Phương trình tiếp tuyến tại $M_1$ là $\Delta_1: y=1(x-0)+0 \Leftrightarrow y=x$
Phương trình tiếp tuyến tại $M_1$ là $\Delta_2: y=1(x+2)+2 \Leftrightarrow y=x+4$.
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ của đồ thị $(C): y=x^3-3 x+2$, biết tiếp tuyến song song với $(d): y=3 x-2$.
Lời giải
Gọi $M\left(x_0 ; y_0\right) \in(C)$ là tọa độ tiếp điểm của $(\Delta)$ với $(C)$.
Ta có $y^{\prime}=2 x-3$. Vì $(\Delta) \|(d) \Rightarrow y^{\prime}\left(x_0\right)=3 \Leftrightarrow 2 x_0-3=3 \Leftrightarrow x_0=3 \Rightarrow y_0=2 \Rightarrow M(3 ; 2)$.
Phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ tại điểm $\mathrm{M}$ là $(\Delta): y=3(x-3)+2=3 x-7$.
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị $(C): y=x^2-x+2$, biết $\Delta$ vuông góc với $(d): 5 y=-x+300$
Lời giải
Ta có $5 y=-x+300 \Leftrightarrow y=-\frac{1}{5} x+600$
$\Rightarrow$ hệ số góc của đường thẳng $(d)$ là $k_d=-\frac{1}{5}$.
Ta có $y^{\prime}=2 x-1$. Gọi $M\left(x_0 ; y_0\right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến $\Delta$.
Vì $\Delta \perp(d) \Leftrightarrow f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot k_d=-1 \Leftrightarrow k_d \cdot\left(2 x_0-1\right)=-1 \Leftrightarrow 2 x_0-1=5 \Leftrightarrow x_0=3$
$$
\Rightarrow\left[\begin{array}{l}
y_0=8 \\
f^{\prime}\left(x_0\right)=2 x_0-1=5
\end{array}\right.
$$
Phương trình tiếp tuyến $(\Delta): y=5(x-3)+8=5 x-7$.
Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng
