Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) có hệ số góc k cho trước

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin mang đến cho các em một chủ đề vô cùng thú vị và hữu ích trong chương trình Toán 12: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với hệ số góc k cho trước. Đây là một kỹ năng quan trọng mà các em cần nắm vững để chinh phục bài tập và thi cử hiệu quả. Qua bài viết này, chúng mình sẽ cùng nhau khám phá cách tiếp cận bài toán một cách dễ hiểu và sinh động nhất. Hãy cùng hdgmvietnam.org trang bị cho mình kiến thức vững chắc và tự tin bước vào kỳ thi sắp tới nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) có hệ số góc k cho trước

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C): y=f(x)$ có hệ số góc $k$ cho trước.
Phương pháp
– Bước 1. Gọi $M\left(x_0 ; y_0\right)$ là tiếp điểm và tính $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$.
– Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là $k=f^{\prime}\left(x_0\right)$.
Giải phương trình này tìm được $x_0$, thay vào hàm số được $y_0$.
– Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng
$$
d: y-y_0=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
$$

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:
– Tiếp tuyến $d / / \Delta: y=a x+b \Rightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến là $k=a$.
– Tiếp tuyến $d \perp \Delta: y=a x+b,(a \neq 0) \Leftrightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến là $k=-\frac{1}{a}$.
– Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc $\alpha$ thì hệ số góc của tiếp tuyến $d$ là $k= \pm \tan \alpha$.
SỦ DỤNG MÁY TÍNH CASIO:
Ta đã biết $b=-x_0 f^{\prime}\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)$ đã chứng minh ở phần trước, như vậy ta làm như sau: Nhập $k(-X)+f(x)$ CALC $X=x_0$ nhấn dấu $=$ ta được $b$.
Phương trình tiếp tuyến là $d: y=k x+b$.

MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Cho hàm số $(C): y=x^3-3 x+2$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9 là:
A. $\left[\begin{array}{l}y=9 x-14 \\ y=9 x+18\end{array}\right.$.
B. $\left[\begin{array}{l}y=9 x+15 \\ y=9 x-11\end{array}\right.$.
C. $\left[\begin{array}{l}y=9 x-1 \\ y=9 x+4\end{array}\right.$.
D. $\left[\begin{array}{l}y=9 x+8 \\ y=9 x+5\end{array}\right.$.

Lời giải:
Ta có $y^{\prime}=3 x^2-3$. Vậy $k=y^{\prime}\left(x_0\right)=9 \Leftrightarrow 3 x_0^2-3=9 \Leftrightarrow x_0^2=4 \Leftrightarrow x_0=2 \vee x_0=-2$.
+ Với $x_0=2 \Rightarrow y_0=4$ ta có tiếp điểm $M(2 ; 4)$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y=9(x-2)+4 \Rightarrow y=9 x-14$.
+ Với $x_0=-2 \Rightarrow y_0=0$ ta có tiếp điểm $N(-2 ; 0)$.
Phương trình tiếp tuyến tại $N$ là $y=9(x+2)+0 \Rightarrow y=9 x+18$.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là $y=9 x-14$ và $y=9 x+18$. Chọn đáp án A.

Sử dụng máy tính:
+ Với $x_0=2$ ta nhập $9(-X)+X^3-3 X^2+2$ CALC $X=2$ nhấn dấu ta được -14 $\Rightarrow y=9 x-14$.
+ Với $x_0=-2$ ta nhập $9(-X)+X^3-3 X^2+2 \quad C A L C \quad X=-2$ nhấn dấu $=$ ta được 18 $\Rightarrow y=9 x+18$.

Bài toán 2: Cho hàm số $(C): y=\frac{2 x+1}{x+2}$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình $\Delta: 3 x-y+2=0$.
A. $y=3 x-2$.
B. $y=3 x+14$
C. $y=3 x+5$.
D. $y=3 x-8$.

Lời giải:
Ta có $y^{\prime}=\frac{3}{(x+2)^2}, \Delta: 3 x-y+2=0 \Rightarrow y=3 x+2$.
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $\Delta$ nên $k=\frac{3}{\left(x_0+2\right)^2}=3$
$$
\Leftrightarrow\left(x_0+2\right)^2=1 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ x _ { 0 } + 2 = 1 } \\
{ x _ { 0 } + 2 = – 1 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x_0=-1 \\
x_0=-3
\end{array}\right.\right.
$$
+ Với $x_0=-1$ nhập $3(-X)+\frac{2 X+1}{X+2}$ CALC $X=-1$ nhấn dấu $=$ ta được 2 , suy ra $d: y=3 x+2$ (loại do trùng với $\Delta$ ).
+ Với $x_0=-3$ CALC $X=-3$ nhấn dấu $\boxminus$ ta được $14 \Rightarrow d: y=3 x+14$.
Vậy phương trình tiếp tuyến là $d: y=3 x+14$. Chọn đáp án B.