| |

Viết phương trình đường tròn

Chào mừng các em học sinh thân mến đến với bài viết đặc biệt về Viết phương trình đường tròn! Đây là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10 mà chúng mình tin rằng sẽ mang lại cho các em nhiều kiến thức bổ ích.
Với mong muốn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục đỉnh cao tri thức, đội ngũ hdgmvietnam.org đã tổng hợp và biên soạn bài viết này một cách công phu. Chúng mình hy vọng rằng, thông qua những lời giải thích dễ hiểu, minh họa sinh động và bài tập thực hành phong phú, các em sẽ nhanh chóng nắm vững cách viết phương trình đường tròn một cách thuần thục.
Hãy cùng chúng mình khám phá thế giới toán học kỳ thú này nhé! Chúc các em học tập thật tốt và gặt hái nhiều thành công!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Trích dẫn nội dung Viết phương trình đường tròn

Dạng 2: Viết Phương Trình Đường Tròn

1. Phương pháp giải.

Cách 1

+ Tìm toạ độ tâm $I(a ; b)$ của đường tròn $(\mathrm{C})$
+ Tìm bán kính $\mathrm{R}$ của đường tròn $(\mathrm{C})$
+ Viết phương trình của $(\mathrm{C})$ theo dạng $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.

Cách 2

Giả sử phương trình đường tròn $(\mathrm{C})$ là: $x^2+y^2-2 a x-2 b y+c=0$ (Hoặc $x^2+y^2+2 a x+2 b y+c=0$ ).
+ Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$.
+ Giải hệ để tìm $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ từ đó tìm được phương trình đường tròn $(\mathrm{C})$.
Chú ý:
* $A \in(C) \Leftrightarrow I A=R$
* $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại $A \Leftrightarrow I A=d(I ; \Delta)=R$
$*(C)$ tiếp xúc với hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2 \Leftrightarrow d\left(I ; \Delta_1\right)=d\left(I ; \Delta_2\right)=R$

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1 : Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm $I(1 ;-5)$ và đi qua $O(0 ; 0)$.
b) Nhận $A B$ làm đường kính với $A(1 ; 1), B(7 ; 5)$.
c) Đi qua ba điểm: $M(-2 ; 4), N(5 ; 5), P(6 ;-2)$

Lời giải

a) Đường tròn cần tìm có bán kính là $O I=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$ nên có phương trình là $(x-1)^2+(y+5)^2=26$
b) Gọi $\mathrm{I}$ là trung điểm của đoạn $A B$ suy ra $I(4 ; 3)$
$$
A I=\sqrt{(4-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{13}
$$
Đường tròn cần tìm có dường kính là $A B$ suy ra nó nhận $I(4 ; 3)$ làm tâm và bán kính $R=A I=\sqrt{13}$ nên có phương trình là $(x-4)^2+(y-3)^2=13$
c) Gọi phương trình đường tròn $(\mathrm{C})$ có dạng là: $x^2+y^2-2 a x-2 b y+c=0$.
Do đường tròn đi qua ba điểm $M, N, P$ nên ta có hệ phương trình:
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ 4 + 1 6 + 4 a – 8 b + c = 0 } \\
{ 2 5 + 2 5 – 1 0 a – 1 0 b + c = 0 } \\
{ 3 6 + 4 – 1 2 a + 4 b + c = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
a=2 \\
b=1 \\
c=-20
\end{array}\right.\right.
$$
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $x^2+y^2-4 x-2 y-20=0$
Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau
Gọi $I(x ; y)$ và $\mathrm{R}$ là tâm và bán kính đường tròn cần tìm
Vì $I M=I N=I P \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}I M^2=I N^2 \\ I M^2=I P^2\end{array}\right.$ nên ta có hệ
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ ( x + 2 ) ^ { 2 } + ( y – 4 ) ^ { 2 } = ( x – 5 ) ^ { 2 } + ( y – 5 ) ^ { 2 } } \\
{ ( x + 2 ) ^ { 2 } + ( y – 4 ) ^ { 2 } = ( x – 6 ) ^ { 2 } + ( y + 2 ) ^ { 2 } }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=2 \\
y=1
\end{array}\right.\right.
$$

Ví du 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) $(\mathrm{C})$ có tâm $I(-1 ; 2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: x-2 y+7=0$
b) (C) đi qua $A(2 ;-1)$ và tiếp xúc với hai trục toạ độ $O x$ và $O y$
c) (C) có tâm nằm trên dường thẳng $d: x-6 y-10=0$ và tiếp xúc với hai dường thẳng có phương trình $d_1: 3 x+4 y+5=0$ và $d_2: 4 x-3 y-5=0$

Lời giải

a) Bán kính đường tròn $(\mathrm{C})$ chính là khoẳng cách từ $\mathrm{I}$ tới đường thẳng $\Delta$ nên
$$
R=d(I ; \Delta)=\frac{|-1-4-7|}{\sqrt{1+4}}=\frac{2}{\sqrt{5}}
$$
Vậy phương trình đường tròn $(\mathrm{C})$ là : $(x+1)^2+(y-2)^2=\frac{4}{5}$
b) Vì điểm $\mathrm{A}$ nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của dường tròn có dạng $I(R ;-R)$ trong dó $\mathrm{R}$ là bán kính dường tròn $(\mathrm{C})$.
Ta có: $R^2=I A^2 \Leftrightarrow R^2=(2-R)^2+(-1+R)^2 \Leftrightarrow R^2-6 R+5=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}R=1 \\ R=5\end{array}\right.$
Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: $(x-1)^2+(y+1)^2=1$ và $(x-5)^2+(y+5)^2=25$
c) Vì đường tròn cần tìm có tâm $\mathrm{K}$ nằm trên đường thẳng d nên gọi $K(6 a+10 ; a)$
Mặt khác đường tròn tiếp xúc với $d_1, d_2$ nên khoảng cách từ tâm $\mathrm{I}$ đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính $R$ suy ra
$$
\frac{|3(6 a+10)+4 a+5|}{5}=\frac{|4(6 a+10)-3 a-5|}{5} \Leftrightarrow|22 a+35|=|21 a+35| \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
a=0 \\
a=\frac{-70}{43}
\end{array}\right.
$$
– Với $a=0$ thì $K(10 ; 0)$ và $R=7$ suy ra $(C):(x-10)^2+y^2=49$
– Với $a=\frac{-70}{43}$ thì $K\left(\frac{10}{43} ; \frac{-70}{43}\right)$ và $R=\frac{7}{43}$ suy ra $(C):\left(x-\frac{10}{43}\right)^2+\left(y+\frac{70}{43}\right)^2=\left(\frac{7}{43}\right)^2$
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là
$$
(C):(x-10)^2+y^2=49 \text { và }(C):\left(x-\frac{10}{43}\right)^2+\left(y+\frac{70}{43}\right)^2=\left(\frac{7}{43}\right)^2
$$

Ví dụ 3: Cho hai điểm $A(8 ; 0)$ và $B(0 ; 6)$.

a) Viết phương trình dường tròn ngoại tiếp tam giác $O A B$
b) Viết phương trình dường tròn nội tiếp tam giác $O A B$

Lời giải

a) Ta có tam giác $O A B$ vuông ở $\mathrm{O}$ nên tâm $\mathrm{I}$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền $\mathrm{AB}$ suy ra $I(4 ; 3)$ và Bán kính $R=I A=\sqrt{(8-4)^2+(0-3)^2}=5$
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $\mathrm{OAB}$ là: $(x-4)^2+(y-3)^2=25$
b) Ta có $O A=8 ; O B=6 ; A B=\sqrt{8^2+6^2}=10$
Mặt khác $\frac{1}{2} O A \cdot O B=p r$ (vì cùng bằng diện tích tam giác $A B C$ )
Suy ra $r=\frac{O A \cdot O B}{O A+O B+A B}=2$
Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của dường tròn có tọa độ là $(2 ; 2)$
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác $O A B$ là: $(x-2)^2+(y-2)^2=4$

Viết phương trình đường tròn

Tải tài liệu

5/5 - (1 vote)

Similar Posts

Để Lại Bình Luận

Địa chỉ email của bạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *