Viết phương trình đường thẳng d’ qua A nằm trong (P) sao cho góc giữa hai đường thẳng d và d’ nhỏ nhất (hoặc tạo với mặt phẳng (Q) cho trước một góc lớn nhất)
Xin chào các bạn học sinh lớp 12 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được giới thiệu đến các bạn một bài viết thú vị và bổ ích trong chương trình Toán 12. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách “Viết phương trình đường thẳng d’ qua A nằm trong (P) sao cho góc giữa hai đường thẳng d và d’ nhỏ nhất (hoặc tạo với mặt phẳng (Q) cho trước một góc lớn nhất)”.
Đây là một chủ đề hấp dẫn, giúp các bạn rèn luyện tư duy không gian và kỹ năng giải toán hình học. Qua bài viết này, chúng tôi hy vọng sẽ giúp các bạn nắm vững kiến thức, tự tin hơn trong học tập và sẵn sàng cho kỳ thi sắp tới. Hãy cùng bắt đầu cuộc phiêu lưu toán học thú vị này nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Viết phương trình đường thẳng d’ qua A nằm trong (P) sao cho góc giữa hai đường thẳng d và d’ nhỏ nhất (hoặc tạo với mặt phẳng (Q) cho trước một góc lớn nhất)
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho điểm $A(1 ;-1 ; 2)$ và mặt phẳng $(P): 2 x-y-z+3=0$.
Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$; song song với $(P)$ đồng thời tạo với đường $\Delta: \frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}$ một góc nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa $A$ và song song với $(P) \Rightarrow \overline{n_{(\alpha)}}=(2 ;-1 ;-1)$.
Khi đó $d$ nằm trong $(\alpha)$ sao cho góc giữa $d$ và $\Delta$ nhỏ nhất.
Ta có: $(\widehat{d ; \Delta})_{\text {min }} \Leftrightarrow u_d=\left[n_{(a)} ;\left[u_{\Delta} ; n_{(a)}\right]\right]=-2(1 ;-5 ; 7)$
Phương trình dường thẳng $d$ là: $\mathrm{d}: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z-2}{7}$.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho điểm $\mathrm{A}(1 ;-1 ; 2)$ và hai đường $\mathrm{d}: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1} ; d^{\prime}: \frac{x-3}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{2}$. Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ đồng thời cắt đường $d$ sao cho góc giữa $\Delta$ và $d^{\prime}$ nhỏ nhất?
Lời giải:
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $A$ và $d$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $\mathrm{A}(1 ; 2 ;-2)$ và có $\mathrm{VTCP}$ là $\overrightarrow{u_d}=(2 ; 1 ;-1)$.
Khi đó $\overrightarrow{n_{(P)}}=\left[\overrightarrow{A M ;} \overrightarrow{u_d}\right]=-(1 ; 0 ; 2)$. Đường thẳng $\Delta \subset(P)$.
Ta có: $\left(\widehat{\Delta ; d^{\prime}}\right)_{\text {min }} \Leftrightarrow \overrightarrow{u_s}=\left[\overline{n_{(P)}} ;\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overline{u_d}\right]\right]=(8 ;-10 ;-4)=2(4 ;-5 ;-2)$.
Phương trình đường thẳng là: $\mathrm{d}: \frac{x+1}{4}=\frac{y}{-5}=\frac{z+1}{-2}$.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua $\mathrm{A}(1 ; 0 ;-2)$ và cắt $\Delta: \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-2}$ sao cho góc giữa $d$ và mặt phẳng $(P): 2 x-y+2 z-1=0$ lớn nhất?.
Lời giải:
Đường thẳng $\mathrm{d}$ nằm trong mặt phẳng $(Q)$ chứa $A$ và $\Delta$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1 ;-1 ; 2)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(3 ; 2 ;-2), \overrightarrow{A M}(0 ;-1 ; 4)$
Ta có: $\overrightarrow{n_{(\varrho)}}=\left[\overrightarrow{A M} ; \overrightarrow{u_A}\right]=-(-6 ; 12 ; 3) \Rightarrow \overrightarrow{n_{(\varrho)}}=(-2 ; 4 ; 1)$.
Để $(\widehat{\mathrm{d} ;(P)})_{\max } \Leftrightarrow \overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{(\varrho)}} ;\left[\overrightarrow{n_{(\varrho)}} ; \overrightarrow{n_{(P)}}\right]\right]=(-30 ;-3 ;-48)=-3(10 ; 1 ; 16)$.
Khi đó phương trình đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x-1}{10}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{16}$.
Viết phương trình đường thẳng d’ qua A nằm trong (P) sao cho góc giữa hai đường thẳng d và d’ nhỏ nhất (hoặc tạo với mặt phẳng (Q) cho trước một góc lớn nhất)
