Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10, Đội ngũ hdgmvietnam.org giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Dưới đây là file PDF của Bài viết “Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn” do Đội ngũ hdgmvietnam.org biên soạn, các em học sinh và thầy cô có thể xem trực tiếp trên trang web hoặc tải về miễn phí

Tải tài liệu

Trích dẫn file PDF

Tài liệu cung cấp các định nghĩa, công thức và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, bao gồm cách xác định vị trí, tìm giao điểm và tính toán tiếp tuyến.

Định nghĩa và khái niệm cơ bản

• Đường thẳng d có phương trình: $ax + by + c = 0$
• Đường tròn (C) có tâm I(a,b) và bán kính R có phương trình: $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$

Vị trí tương đối

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn được xác định bằng khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng (d):

$d = \frac{|aa_0 + bb_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Trong đó (a₀, b₀) là tọa độ tâm đường tròn.

Các trường hợp:

1. Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm: $d < R$
2. Đường thẳng tiếp xúc đường tròn: $d = R$
3. Đường thẳng nằm ngoài đường tròn: $d > R$

Tọa độ giao điểm

Để tìm tọa độ giao điểm, giải hệ phương trình:

$\begin{cases}
ax + by + c = 0 \
(x – a_0)^2 + (y – b_0)^2 = R^2
\end{cases}$

Phương trình tiếp tuyến

1. Tiếp tuyến tại điểm M(x₀, y₀) trên đường tròn:
   $(x – a_0)(x_0 – a_0) + (y – b_0)(y_0 – b_0) = R^2$
2. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $ax + by + c = 0$:
   $a(x – a_0) + b(y – b_0) = \pm R\sqrt{a^2 + b^2}$
3. Tiếp tuyến qua điểm P(x₁, y₁) ngoài đường tròn:
   $(x_1 – a_0)(x – a_0) + (y_1 – b_0)(y – b_0) = R^2$

Bài toán về cung chứa

Góc ở tâm tương ứng với cung chứa:
$\alpha = 2\arcsin\left(\frac{d}{R}\right)$

Trong đó d là khoảng cách từ tâm đến dây.