Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, đội ngũ giáo viên nhiệt huyết của hdgmvietnam.org xin hân hạnh mang đến cho các em một bài viết hết sức hữu ích và thú vị: “Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay”. Bài viết này sẽ giúp các em khám phá sức mạnh của tích phân trong việc tính toán các đại lượng hình học, đồng thời mở ra cánh cửa tri thức mới mẻ và kỳ thú. Với lối viết dễ hiểu, sinh động cùng những ví dụ minh họa trực quan, chúng tôi hy vọng sẽ đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục đỉnh cao tri thức của môn Toán 12. Hãy cùng nhau bắt đầu hành trình này nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
1. Một số bài toán tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường cho truớc
Bài toán 1: Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi các đường $y^2=4 x$ và đường thẳng $x=4$. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi $D$ xoay quanh trục $O x$ là:
A. $32 \pi$
B. $64 \pi$
C. $16 \pi$
D. $4 \pi$
Lời giải
Chọn A.
Giao điểm của đường $y^2=4 x$ với trục hoành là : $O(0 ; 0)$.
Phần phía trên $O x$ của đường $y^2=4 x$ có phương trình $y=2 \sqrt{x}$.
Suy ra thể tích khối tròn xoay sinh ra khi $D$ xoay quanh trục $O x$ là: $V=\int_0^4 \pi \cdot(2 \sqrt{x})^2 d x=32 \pi$.
Bài toán 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\ln x, y=0, x=2$ quay xung quanh trục $O x$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. $2 \ln ^2 2-4 \ln 2+2$
B. $\pi\left(2 \ln ^2 2+4 \ln 2-2\right)$
C. $2 \pi\left(\ln ^2 2-2 \ln 2+1\right)$
D. $\pi(2 \ln 2-1)$
Lời giải
Chọn C.
Tọa độ giao điểm của hai đường $y=\ln x$ và $y=0$ là điểm $C(1 ; 0)$.
Nên thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V=\int_1^2 \pi \cdot \ln ^2 x d x$.
Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\pi \ln ^2 x \\ d v=d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{2 \pi \ln x}{x} d x \\ v=x\end{array}\right.\right.$. Suy ra : $V=\left.\pi x \ln ^2 x\right|_1 ^2-2 \pi \int_1^2 \ln x d x=2 \pi \ln ^2 2-2 \pi I$.
Tính $I=\int_1^2 \ln x d x$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d x=d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{d x}{x} \\ v=x\end{array}\right.\right.$. Nên $I=\left.x \ln x\right|_1 ^2-\int_1^2 d x=2 \ln 2-1$.
Vậy $V=2 \pi \ln ^2 2-2 \pi(2 \ln 2-1)=2 \pi\left(\ln ^2 2-2 \ln 2+1\right)$.
Bài toán 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=a \cdot x^2, y=b x(a, b \neq 0)$ quay xung quanh trục $O x$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. $V=\pi \cdot \frac{b^3}{a^3}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$
B. $V=\pi \cdot \frac{b^5}{5 a^3}$
C. $V=\pi \cdot \frac{b^5}{3 a^3}$
D. $V=\pi \cdot \frac{b^5}{a^3}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$
Lời giải
Chọn D.
Tọa độ giao điểm của hai đường $y=a x^2$ và $y=b x$ là các điểm $O(0 ; 0)$ và $A\left(\frac{b}{a} ; \frac{b^2}{a}\right)$.
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V=\int_0^{\frac{b}{a}} \pi \cdot b^2 x^2 d x-\int_0^{\frac{b}{a}} \pi \cdot a^2 x^4 d x=\pi \cdot \frac{b^5}{a^3}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$.
Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
