Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho các em một bài viết hết sức hữu ích và thú vị: “Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng”. Bài viết này sẽ giúp các em khám phá sức mạnh của tích phân trong việc tính toán diện tích, một kỹ năng không thể thiếu trong chương trình Toán 12. Với lối viết dễ hiểu, sinh động cùng những ví dụ minh họa rõ ràng, chúng mình hy vọng sẽ đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục tri thức, giúp các em tự tin hơn khi bước vào kỳ thi quan trọng sắp tới. Hãy cùng nhau khám phá nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM
Trước khi vào lý thuyết của phần ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, ta sẽ chứng minh tính chất được dùng trong phần này.
Tính chất: Nếu trên đoạn $[a ; b]$, hàm số $f(x)$ không đổi dấu thì: $\int_a^b|f(x)| d x=\left|\int_a^b f(x) d x\right| \quad\left({ }^*\right)$
Chứng minh:
Hàm số $f(x)$ không đổi dấu trên đoạn $[a ; b]$, nghĩa là $f(x)$ luôn dương hoặc luôn âm $\forall x \in[a ; b]$.
Trường hợp 1: $f(x) \geq 0 \quad \forall x \in[a ; b]$ :
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$.
$\Rightarrow F^{\prime}(x)=f(x) \geq 0 \quad \forall x \in[a ; b] \Rightarrow F(x)$ luôn đồng biến trên $[a ; b] \Rightarrow F(b) \geq F(a) \Rightarrow F(b)-F(a) \geq 0$.
Ta có: $\int_a^b|f(x)| d x=\int_a^b f(x) d x=\left.F(x)\right|_a ^b=F(b)-F(a)$
$
\begin{aligned}
& \left.\left|\int_a^b f(x) d x\right|=\mid F(x)\right)_a^b|=| F(b)-F(a) \mid=F(b)-F(a) \\
& \text { Từ (1),(2) } \Rightarrow \int_a^b|f(x)| d x=\left|\int_a^b f(x) d x\right|
\end{aligned}
$
Trường hợp 2: $f(x)<0 \quad \forall x \in[a ; b]$ : Chứng minh tương tự, suy ra: $\int_a^b|f(x)| d x=\left|\int_a^b f(x) d x\right|$
Qua hai trường hợp, ta suy ra được điều phải chứng minh.
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$ được xác định: $S=\int_a^b|f(x)| d x$
$(H):\left\{\begin{array}{c}y=f(x) \\ y=0 \\ x=a \\ x=b\end{array}\right.$
$
S=\int_a^b|f(x)| d x
$
Phương pháp giải:
Cách 1: Tính $S=\int_a^b|f(x)| d x$ theo phương pháp đã trình bày ở phần tích phân hàm trị tuyệt đối.
Cách 2: Áp dụng tính chất $\left({ }^*\right)$ đã được chứng minh ở trên.
o Giải phương trình $f(x)=0$
(1) trên đoạn $[a ; b]$.
o Nếu (1) vô nghiệm thì $S=\int_a^b|f(x)| d x=\left|\int_a^b f(x) d x\right|$.
o Nếu (1) có nghiệm thuộc $[a ; b]$, giả sử có duy nhất 1 nghiệm là $\alpha$ thì:
$
S=\int_a^b|f(x)| d x=\int_a^\alpha|f(x)| d x+\int_\alpha^b|f(x)| d x=\left|\int_a^\alpha f(x) d x\right|+\left|\int_\alpha^b f(x) d x\right|
$
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x), y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$ và hai đường thẳng $x=a, x=b$ được xác định: $S=\int_a^b|f(x)-g(x)| d x$
$
(H):\left\{\begin{array}{c}
\left(C_1\right): y=f(x) \\
\left(C_2\right): y=g(x) \\
x=a \\
x=b
\end{array} \quad S=\int_a^b|f(x)-g(x)| d x\right.
$
Phương pháp giải:
Cách 1: Tính $S=\int_a^b|f(x)-g(x)| d x$ theo pp đã trình bày ở phần tích phân hàm trị tuyệt đối.
Cách 2: Áp dụng tính chất $\left({ }^*\right)$ đã được chứng minh ở trên.
o Giải phương trình $f(x)=g(x)$
(1) trên đoạn $[a ; b]$.
o Nếu (1) vô nghiệm thì $S=\int_a^b|f(x)-g(x)| d x=\left|\int_a^b(f(x)-g(x)) d x\right|$.
o Nếu (1) có nghiệm thuộc $[a ; b]$, giả sử có duy nhất 1 nghiệm là $\alpha$ thì:
$
S=\int_a^b|f(x)-g(x)| d x=\left|\int_a^a(f(x)-g(x)) d x\right|+\left|\int_a^b(f(x)-g(x)) d x\right|
$
Chú ý: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=g(y), x=h(y)$ và hai đường thẳng $y=c, y=d$ được xác định: $S=\int_c^d|g(y)-h(y)| d y$.
Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
