Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Phương pháp giản đồ Fre-nen
Định nghĩa
Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là sự chồng chất hai dao động điều hòa có cùng phương, cùng tần số lên nhau tạo thành một dao động điều hòa mới.
Phương pháp giản đồ Fre-nen là phương pháp biểu diễn mỗi dao động điều hòa bằng một véc tơ quay, sau đó cộng hai véc tơ quay để tìm véc tơ quay biểu diễn dao động tổng hợp.
Ứng dụng và ví dụ thực tiễn
Ứng dụng
- Tổng hợp dao động được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như âm thanh, ánh sáng, điện từ, cơ học, v.v.
- Trong âm thanh, sự tổng hợp các dao động tạo nên âm sắc phong phú của nhạc cụ và giọng hát.
- Trong quang học, giao thoa ánh sáng là sự tổng hợp các dao động ánh sáng cùng pha.
Ví dụ thực tiễn
- Màng nhĩ của tai và màng rung của micro nhận được nhiều dao động âm từ môi trường, dao động tổng hợp tạo nên âm thanh phức tạp mà ta nghe được.
- Dây đàn khi rung sẽ tạo ra dao động cơ bản và các dao động bội. Sự tổng hợp các dao động này tạo nên âm sắc đặc trưng của dây đàn.
Công thức liên quan
Công thức cơ bản
- Phương trình dao động tổng hợp:
$x = Acos(\omega t + \varphi)$
Trong đó:
A là biên độ dao động tổng hợp
$\omega$ là tần số góc chung của hai dao động thành phần
$\varphi$ là pha ban đầu của dao động tổng hợp - Biên độ dao động tổng hợp:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2cos(\varphi_2 – \varphi_1)}$
Trong đó:
$A_1, A_2$ là biên độ của hai dao động thành phần
$\varphi_1, \varphi_2$ là pha ban đầu của hai dao động thành phần - Pha ban đầu của dao động tổng hợp:
$tan\varphi = \frac{A_1sin\varphi_1 + A_2sin\varphi_2}{A_1cos\varphi_1 + A_2cos\varphi_2}$
Công thức nâng cao
- Khi hai dao động cùng pha ($\varphi_2 – \varphi<>1 = 2n\pi$):
$A</>{max} = A_1 + A_2$ - Khi hai dao động ngược pha ($\varphi_2 – \varphi<>1 = (2n+1)\pi$):
$A</>{min} = |A_1 – A_2|$ - Khi hai dao động vuông pha ($\varphi_2 – \varphi_1 = (2n+1)\frac{\pi}{2}$):
$A^2 = A_1^2 + A_2^2$
Câu hỏi tư duy
Câu hỏi
- Nếu tổng hợp hai dao động cùng biên độ và cùng pha thì dao động tổng hợp có gì đặc biệt?
- Nếu tổng hợp hai dao động có biên độ bằng nhau nhưng ngược pha thì dao động tổng hợp như thế nào?
- Làm thế nào để xác định được li độ của vật khi biết phương trình dao động của hai thành phần?
Trả lời
- Nếu tổng hợp hai dao động cùng biên độ A và cùng pha thì dao động tổng hợp có biên độ gấp đôi (2A) và cùng pha với các dao động thành phần.
- Nếu tổng hợp hai dao động có cùng biên độ A nhưng ngược pha thì chúng triệt tiêu nhau, dao động tổng hợp có biên độ bằng 0, nghĩa là vật đứng yên.
- Để xác định li độ của vật tại một thời điểm, ta thế giá trị thời gian t vào phương trình dao động của hai thành phần, tính được li độ x1 và x2. Khi đó li độ của vật là tổng của x1 và x2.
Bài tập
Bài tập cơ bản
- Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình $x_1 = 5cos(4\pi t)$ (cm) và $x_2 = 5cos(4\pi t + \frac{\pi}{2})$ (cm). Phương trình dao động tổng hợp là:
A. $x = 5\sqrt{2}cos(4\pi t + \frac{\pi}{4})$ (cm)
B. $x = 5cos(4\pi t)$ (cm)
C. $x = 10cos(4\pi t + \frac{\pi}{2})$ (cm)
D. $x = 5\sqrt{2}sin(4\pi t + \frac{\pi}{4})$ (cm) - Một vật dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số. Biết biên độ các dao động thành phần là 12 cm và 16 cm. Biên độ dao động tổng hợp không thể là:
A. 28 cm
B. 20 cm
C. 10 cm
D. 4 cm - Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có các phương trình $x_1 = 3cos2\pi t$ (cm) và $x_2 = 4cos(2\pi t + \frac{\pi}{3})$ (cm). Phương trình dao động tổng hợp là:
A. $x = 5cos(2\pi t + \frac{\pi}{3})$ (cm)
B. $x = 5cos(2\pi t – \frac{\pi}{6})$ (cm)
C. $x = 7cos(2\pi t)$ (cm)
D. $x = 5cos(2\pi t + \frac{\pi}{6})$ (cm) - Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Biết biên độ dao động tổng hợp cực đại bằng 10 cm và cực tiểu bằng 6 cm. Tỉ số biên độ của hai dao động thành phần là:
A. 1/4
B. 2/5
C. 3/4
D. 4/5 - Một vật dao động điều hòa dưới tác dụng đồng thời của hai lực $F_1 = 2cos(10t)$ (N) và $F_2 = cos(10t + \frac{\pi}{3})$ (N). Phương trình dao động của vật là:
A. $x = \frac{1}{5}cos(10t + \frac{\pi}{6})$ (m)
B. $x = \frac{1}{5}cos(10t – \frac{\pi}{6})$ (m)
C. $x = \frac{1}{5}cos(10t)$ (m)
D. $x = \frac{1}{5}cos(10t + \frac{\pi}{3})$ (m)
Bài tập nâng cao
- Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình $x_1 = 4cos(\omega t)$ và $x_2 = 3cos(\omega t + \frac{2\pi}{3})$. Tìm phương trình dao động của vật theo thời gian.
A. $x = 5cos(\omega t + 0,6)$
B. $x = 5cos(\omega t – 0,6)$
C. $x = 5cos(\omega t + 0,4)$
D. $x = 5cos(\omega t – 0,4)$ - Một vật dao động điều hòa dưới tác dụng của hai lực tuần hoàn cùng tần số có biểu thức $F<>1 = F</>{01}cos(\omega t)$ và $F<>2 = F</>{02}cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$. Biên độ của lực tổng hợp tác dụng lên vật là:
A. $F<>0 = \sqrt{F</>{01}^2 + F_{02}^2}$
B. $F<>0 = F</>{01} + F_{02}$
C. $F<>0 = F</>{01} – F_{02}$
D. $F<>0 = |F</>{01} – F_{02}|$ - Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Gọi $\Delta \varphi$ là độ lệch pha giữa hai dao động thành phần. Khi $\Delta \varphi = \frac{\pi}{2}$, biên độ dao động tổng hợp $A = \sqrt{34}$ cm và khi $\Delta \varphi = \pi$, $A = 2$ cm. Biên độ các dao động thành phần là:
A. $A_1 = 3$ cm, $A_2 = 5$ cm
B. $A_1 = 4$ cm, $A_2 = 5$ cm
C. $A_1 = 4$ cm, $A_2 = 6$ cm
D. $A_1 = 5$ cm, $A_2 = 6$ cm - Một vật dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình $x_1 = 8cos(6\pi t)$ cm và $x_2 = 6cos(6\pi t + \frac{5\pi}{6})$ cm. Quãng đường vật đi được trong một chu kì là:
A. 20,78 cm
B. 41,57 cm
C. 62,35 cm
D. 31,18 cm - Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng tần số, vuông pha có phương trình $x_1 = 4cos(\omega t)$ cm và $x_2 = 3sin(\omega t)$ cm. Phương trình dao động tổng hợp là:
A. $x = 5cos(\omega t + \frac{\pi}{3})$ cm
B. $x = 5cos(\omega t – \frac{\pi}{3})$ cm
C. $x = 5sin(\omega t + \frac{\pi}{6})$ cm
D. $x = 5sin(\omega t – \frac{\pi}{6})$ cm
Giải bài tập
Giải bài tập cơ bản
- Đáp án A.
Hai dao động có cùng biên độ A1 = A2 = 5 cm và vuông pha $\varphi_2 – \varphi_1 = \frac{\pi}{2}$.
Biên độ tổng hợp: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2} = 5\sqrt{2}$ (cm)
Pha dao động tổng hợp: $\varphi = \frac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} = \frac{\pi}{4}$
Phương trình dao động: $x = 5\sqrt{2}cos(4\pi t + \frac{\pi}{4})$ (cm) - Đáp án D.
Gọi $\Delta \varphi$ là độ lệch pha giữa hai dao động.
$A_{max} = A_1 + A<>2 = 28$ (cm) khi $\Delta \varphi = 0$
$A</>{min} = |A_1 – A_2| = 4$ (cm) khi $\Delta \varphi = \pi$
Vậy biên độ dao động tổng hợp luôn lớn hơn hoặc bằng 4 cm. - Đáp án D.
Biên độ tổng hợp: $A = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2.3.4.cos\frac{\pi}{3}} = 5$ (cm)
Pha tổng hợp: $tan\varphi = \frac{4sin\frac{\pi}{3}}{3 + 4cos\frac{\pi}{3}} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{6}$
Phương trình dao động: $x = 5cos(2\pi t + \frac{\pi}{6})$ (cm) - Đáp án C.
Gọi A1, A2 là biên độ hai dao động thành phần.
$A_{max} = A_1 + A<>2 = 10$ (cm)
$A</>{min} = |A_1 – A_2| = 6$ (cm)
Cộng hai phương trình:
$A_1 + A_2 + |A_1 – A_2| = 16 \Rightarrow A_1 = 8, A_2 = 2$
Tỉ số biên độ: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1} = \frac{3}{4}$ - Đáp án B.
Từ phương trình lực: $F_1 = 2cos(10t), F_2 = cos(10t + \frac{\pi}{3})$
Biên độ: $A_1 = 2, A_2 = 1$
Biên độ tổng hợp: $A = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2.2.1.cos\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{5}$
Pha tổng hợp: $tan\varphi = \frac{sin\frac{\pi}{3}}{2 + cos\frac{\pi}{3}} \Rightarrow \varphi = -\frac{\pi}{6}$
Phương trình dao động: $x = \frac{1}{5}cos(10t – \frac{\pi}{6})$ (m)
Giải bài tập nâng cao
- Đáp án B.
Biên độ: $A_1 = 4, A_2 = 3$
Biên độ tổng hợp: $A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2.4.3.cos\frac{2\pi}{3}} = 5$
Pha tổng hợp: $tan\varphi = \frac{3sin\frac{2\pi}{3}}{4 + 3cos\frac{2\pi}{3}} \Rightarrow \varphi = -0,6$
Phương trình dao động: $x = 5cos(\omega t – 0,6)$ - Đáp án A.
Biên độ lực tổng hợp: $F<>0 = \sqrt{F</>{01}^2 + F_{02}^2}$
Vì hai lực vuông pha nên $F<>0^2 = F</>{01}^2 + F_{02}^2$ - Đáp án B.
Gọi A1, A2 là biên độ hai dao động thành phần.
Khi $\Delta\varphi = \frac{\pi}{2}$, ta có: $A^2 = A_1^2 + A_2^2 \Rightarrow 34 = A_1^2 + A_2^2$
Khi $\Delta\varphi = \pi$, ta có: $A = |A_1 – A_2| = 2 \Rightarrow |A_1 – A_2| = 2$
Giải hệ phương trình, ta được: A1 = 4 cm, A2 = 5 cm. - Đáp án B.
$x_1 = 8cos(6\pi t), x_2 = 6cos(6\pi t + \frac{5\pi}{6})$
Biên độ: A1 = 8 cm, A2 = 6 cm
Biên độ tổng hợp: $A = \sqrt{8^2 + 6^2 + 2.8.6.cos\frac{5\pi}{6}} = 10$
Chu kì: T = 1/6 (s)
Quãng đường đi được trong 1 chu kì: s = 4AT = 41,57 cm - Đáp án A.
Biên độ: A1 = 4 cm, A2 = 3 cm
Biên độ tổng hợp: $A = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ (cm)
Pha tổng hợp: $tan\varphi = \frac{3}{4} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{3}$
Phương trình dao động: $x = 5cos(\omega t + \frac{\pi}{3})$ (cm)