Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Xin chào các bạn học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một chủ đề toán học thú vị và quan trọng trong chương trình Toán 11 – đó chính là “Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn”. Đây là một kiến thức nền tảng, giúp các bạn hiểu sâu hơn về dãy số và ứng dụng trong nhiều bài toán thực tế. Qua bài viết này, các bạn sẽ được hướng dẫn chi tiết cách tính tổng, cùng với những ví dụ minh họa sinh động. Hãy cùng hdgmvietnam.org bước vào thế giới của cấp số nhân lùi vô hạn nhé! Chúc các bạn học tập vui vẻ và hiệu quả!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Trích dẫn nội dung Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Dạng 5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1. Phương pháp
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là $|\mathrm{q}|<1$.
Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$
$$
\mathrm{S}=\mathrm{u}_1+\mathrm{u}_2+\ldots+\mathrm{u}_{\mathrm{n}}+\ldots=\frac{\mathrm{u}_1}{1-\mathrm{q}}
$$
$\checkmark$ Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10
$$
\mathrm{X}=\mathrm{N}, \mathrm{a}_1 \mathrm{a}_2 \mathrm{a}_3 \ldots \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \ldots=\mathrm{N}+\frac{\mathrm{a}_1}{10}+\frac{\mathrm{a}_2}{10^2}+\frac{\mathrm{a}_3}{10^3}+\ldots+\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}}}{10^{\mathrm{n}}}+\ldots
$$
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{4},-\frac{1}{8}, \ldots,\left(-\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}, \ldots$
Hướng dẫn giải

Theo đề cho ta có: $\mathrm{u}_1=1, \mathrm{q}=-\frac{1}{2}$.
$$
\mathrm{S}=\frac{\mathrm{u}_1}{1-\mathrm{q}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3} \text {. }
$$

Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn $\mathrm{a}=0,212121 \ldots$ (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tụ̣ luận
Ta có: $\mathrm{a}=0,212121 \ldots$
$$
\begin{aligned}
& =0,21+0,0021+0,000021+\ldots \\
& =21\left(\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^4}+\frac{1}{10^6}+\ldots\right)
\end{aligned}
$$
Tổng $\mathrm{S}=\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^4}+\frac{1}{10^6}+\ldots$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có $\mathrm{u}_1=\frac{1}{10^2}, \mathrm{q}=\frac{1}{10^2}$.
$\mathrm{S}=\frac{\mathrm{u}_1}{1-\mathrm{q}}=\frac{\frac{1}{10^2}}{1-\frac{1}{10^2}}=\frac{1}{99}$. Do đó $\mathrm{A}=21 \cdot \frac{1}{99}=\frac{7}{33}$.
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính
Nhập vào màn hình $0,(21)$ và ấn phím $\square$ ta được kết quả $\frac{7}{33}$.

Ví dụ 3: Tổng $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=1+0,9+(0,9)^2+(0,9)^3+\ldots+(0,9)^{\mathrm{n}-1}+\ldots$ có kết quả bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
$$
\mathrm{S}=1+0,9+(0,9)^2+(0,9)^3+\ldots+(0,9)^{\mathrm{n}-1}+\ldots
$$
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng có $\mathrm{u}_1=1, \mathrm{q}=0,9$.
$$
\mathrm{S}=\frac{\mathrm{u}_1}{1-\mathrm{q}}=\frac{1}{1-0,9}=10
$$

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Tải tài liệu