Tóm tắt lý thuyết GTLN và GTNN của hàm số

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến!
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin gửi tới các em bài viết “Tóm tắt lý thuyết GTLN và GTNN của hàm số”. Chúng tôi hy vọng rằng, với nội dung được trình bày một cách khoa học, dễ hiểu nhưng không kém phần thú vị, bài viết sẽ là một công cụ hữu ích giúp các em nắm vững kiến thức then chốt của chương trình Toán 12. Hãy cùng chúng tôi khám phá thế giới toán học kỳ diệu, nơi GTLN và GTNN của hàm số sẽ không còn là những khái niệm khô khan mà trở thành những viên gạch quan trọng xây nên ngôi nhà tri thức của các em. Chúc các em học tập thật tốt và luôn đạt được những thành tích cao trong học tập!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Tóm tắt lý thuyết GTLN và GTNN của hàm số

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1) Định nghĩa
Định nghĩa 1. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $\mathscr{D}$.
(1) Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên tập $\mathscr{D}$ nếu
i) $\forall x \in \mathscr{D}: f(x) \leq M$;
ii) $\exists x_0 \in \mathscr{D}: f\left(x_0\right)=M$.
Kí hiệu $M=\max _{\mathscr{D}} f(x)$.
(2) Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên tập $\mathscr{D}$ nếu
i) $\forall x \in \mathscr{D}: f(x) \geq m$;
ii) $\exists x_0 \in \mathscr{D}: f\left(x_0\right)=m$.
Kí hiệu $m=\min _{\mathscr{D}} f(x)$.

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=x-5+\frac{1}{x}$ trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
Lời giải.
Trên khoảng $(0 ;+\infty)$, ta có $y^{\prime}=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$;
$$
y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x^2-1=0 \Leftrightarrow x=1 \text {. }
$$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng $(0 ;+\infty)$ hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Vậy $\min _{(0 ;+\infty)} f(x)=-3$ tại $x=1$. Không có giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên khoảng $(0 ;+\infty)$.

2) Cách tính giá trị Iớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Định lí 1. Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn
Nhận xét. Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)$ giữ nguyên dấu trên đoạn $[a ; b]$ thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, $f(x)$ đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.
Quy tắc Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$ ta làm như sau: Tìm $f^{\prime}(x)$ và tìm các điểm $x_1, x_2, \ldots, x_n$ trên khoảng $[a ; b]$ mà tại đó $f^{\prime}(x)=0$ hoặc $f^{\prime}(x)$ không xác định.
Tính $f\left(x_1\right), f\left(x_2\right), \ldots, f\left(x_n\right), f(a), f(b)$.
Tìm số lớn nhất $M$ và số nhỏ nhất $m$ trong các số trên. Khi đó
$$
M=\max _{[a ; b]} f(x) ; m=\min _{[a ; b]} f(x) .
$$

Ví dụ 2. [Cao Thành Thái][2D1B3] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=$ $2 x^3+3 x^2-12 x+2$ trên đoạn $[-1 ; 2]$.
Lời giải.
Ta có: $y^{\prime}=6 x^2+6 x-12$.
$$
y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 6 x^2+6 x-12=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=1 \\
x=-2 .
\end{array}\right.
$$
Trên đoạn $[-1 ; 2]$ ta có: $y(-1)=15 ; y(1)=-5 ; y(2)=6$.
Vậy $\max _{[-1 ; 2]} y=15$ tại $x=-1$ và $\min _{[-1 ; 2]} y=-5$ tại $x=1$.
$\triangle$ Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ trên khoảng $(0 ; 1)$.
Lời giải.
Trên khoảng $(0 ; 1)$, ta có $f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^2}<0$.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng $(0 ; 1)$ hàm số không có giá trị lớn nhất, cũng không có giá trị nhỏ nhất.

Một số phương pháp khác tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Cho hàm số $y=f(x)$.
(1) Phương pháp miền giá trị
Xem $y=f(x)$ là phương trình đối với ẩn số $x$ và $y$ là tham số;
Tìm điều kiện của $y$ để phương trình $y=f(x)$ có nghiệm;
Từ điều kiện trên, biến đổi đưa đến dạng $m \leq y \leq M$. Xét dấu ” $=$ ” xảy ra và kết luận.
(2) Phương pháp đạo hàm
Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$;
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
(3) Phương pháp dùng bát đẳng thức
Dùng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh $f(x) \leq M$ hoặc $f(x) \geq m$.
Phải chỉ ra tồn tại $x_1, x_2 \in \mathscr{D}$ sao cho $f\left(x_1\right)=M, f\left(x_2\right)=m$. Khi đó
$$
M=\max _{\mathscr{D}} f(x) ; m=\min _{\mathscr{D}} f(x) .
$$