Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Chào các em học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một bài viết hết sức hữu ích và thú vị: “Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng”. Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp các em nắm vững và vận dụng linh hoạt các tính chất của cấp số cộng. Với lối viết dễ hiểu, sinh động cùng những ví dụ minh họa rõ ràng, bài viết hứa hẹn sẽ mang đến cho các em những phút giây học tập đầy hứng khởi. Hãy cùng đội ngũ hdgmvietnam.org khám phá bài viết này và chinh phục môn Toán 11 một cách tự tin và hiệu quả nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Dạng 4. Tính tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng
Tìm $u_1, d$ hoặc $u_1, u_n$ và tính $S_n$ theo một trong hai công thức sau:
– $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$.
– $S_n=n u_1+\frac{n(n-1)}{2} d$.
BÀI TẬP DẠNG 4
Ví dụ 1. Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=2$ và công sai $d=3$. Tính tổng $S_{100}$ của 100 số hạng đầu tiên.
Lời giải.
Áp dụng Công thức $(3.4)$, ta có $S_{100}=100 \cdot 2+\frac{100(100-1)}{2} \cdot 3=15050$.
Ví dụ 2. Tính tổng $S=100+105+110+\cdots+995$.
Lời giải.
Các số hạng của tổng $S$ lập thành cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với $u_1=100, d=5$.
Giả sử 995 là số hạng thứ $n, n \in \mathbb{N}^*$, ta có $995=100+(n-1) 5 \Leftrightarrow 5 n=900 \Leftrightarrow n=180$.
Do đó $S=S_{180}=\frac{180(100+995)}{2}=98550$.
Ví dụ 3. Cho dãy số $\left(u_n\right)$, với $u_n=2 n-3$.
a) Chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng.
b) Tính tổng của 30 số hạng đầu.
c) Biết $S_n=195$, tìm $n$.
Lời giải.
a) Vì $u_n=2 n-3$ nên $u_1=-1$.
Với $n \geq 1$, xét hiệu $n_{n+1}-u_n=2(n+1)-3-(2 n-3)=2$. Suy ra $u_{n+1}=u_n+2, \forall n \geq 1$.
Vậy $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng với công sai $d=2$.
b) Vì $u_1=-1, d=2, n=30$ nên ta có $S_{30}=30 \cdot(-1)+\frac{30(30-1)}{2} \cdot 2=840$.
c) Vì $u_1=-1, d=2, S_n=195$ nên ta có:
$$
n \cdot(-1)+\frac{n(n-1)}{2} \cdot 2=195 \Leftrightarrow n^2-2 n-195=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
n=15 \\
n=-13
\end{array}\right.
$$
Do $n \in \mathbb{N}^*$ nên $n=15$.
Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng