Tính tổng liên quan cấp số nhân
Kính chào các em học sinh lớp 11 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được giới thiệu đến các em một bài viết hữu ích về chủ đề “Tính tổng liên quan cấp số nhân” trong chương trình Toán 11. Đây là một kiến thức quan trọng, giúp các em nắm vững phương pháp tính tổng các số hạng trong dãy cấp số nhân.
Bài viết sẽ trình bày các công thức, ví dụ minh họa cụ thể và bài tập áp dụng, giúp các em hiểu sâu và vận dụng thành thạo. Chúng tôi hy vọng nội dung này sẽ hỗ trợ tích cực cho việc học tập của các em, đồng thời khơi gợi niềm hứng thú với môn Toán. Hãy cùng khám phá nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Tính tổng liên quan cấp số nhân
Dạng 3. Tính tổng liên quan cấp số nhân
BÀI TẬP DẠNG 3
Ví dụ 1. Tính tổng sau: $A=2-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{512}$.
Lời giải.
Ta có các số hạng trong tổng lập thành cấp số nhân với
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ u _ { 1 } = 2 , q = – \frac { 1 } { 2 } } \\
{ u _ { n } = \frac { 1 } { 5 1 2 } = 2 \cdot ( – \frac { 1 } { 2 } ) ^ { n – 1 } }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array} { l }
{ u _ { 1 } = 2 , q = – \frac { 1 } { 2 } } \\
{ \frac { 1 } { 1 0 2 4 } = ( – \frac { 1 } { 2 } ) ^ { n – 1 } }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
u_1=2, q=-\frac{1}{2} \\
n=11
\end{array}\right.\right.\right.
$$
Suy ra $A=S_{11}=u_1 \cdot \frac{q^{11}-1}{q-1}=2 \cdot \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^{11}-1}{-\frac{1}{2}-1}=\frac{638}{512}$.
Ví dụ 2. Cho $n$ là số tự nhiên $\geq 2$, tính tổng sau: $S_n=\left(2+\frac{1}{2}\right)^2+\left(2^2+\frac{1}{2^2}\right)^2+\ldots+$ $\left(2^n+\frac{1}{2^n}\right)^2$.
Lời giải.
Ta có
$$
\begin{aligned}
& S_n=\left(2+\frac{1}{2}\right)^2+\left(2^2+\frac{1}{2^2}\right)^2+\ldots+\left(2^n+\frac{1}{2^n}\right)^2 \cdot=\left(2^2+2^4+2^6+\ldots+2^{2 n}\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\ldots+\frac{1}{2^{2 n}}\right)+ \\
& 2 n=2^2 \cdot \frac{2^{2 n}-1}{3}+\frac{1}{2^2} \cdot \frac{\frac{1}{2^{2 n}}-1}{\frac{1}{4}-1}+2 n \\
& =\frac{2^{2 n+2}-4}{3}+\frac{1-\frac{1}{2^{2 n}}}{3}+2 n=\frac{2^{2 n}-\frac{1}{2^{2 n}}-3}{3}+2 n \\
&
\end{aligned}
$$
Tính tổng liên quan cấp số nhân