Tính tích phân hàm lượng giác
Các bạn học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, chúng ta cùng khám phá một chủ đề Toán học thú vị và quan trọng: Tính tích phân hàm lượng giác. Đây là kiến thức then chốt, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia. Bài viết này sẽ giúp các bạn nắm vững các công thức, phương pháp giải và làm quen với nhiều dạng bài tập đa dạng. Hãy cùng đội ngũ hdgmvietnam.org bước vào thế giới tích phân hàm lượng giác đầy hấp dẫn nhé! Chúng tôi tin rằng sau khi đọc xong, các bạn sẽ cảm thấy tự tin hơn rất nhiều khi đối mặt với những bài toán tích phân phức tạp.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Tính tích phân hàm lượng giác
II. HÀM LƯỢNG GIÁC
1. Biến đổi và đổi biến cơ bản đưa về tích phân cơ bản
Đối với nhũ̃ng bài tích phân lượng giác, các em phải nắm vững các kiến thức công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức nhân ba, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức hạ bậc,…để đưa hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hiệu các biểu thức có thể lấy nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản.
$\checkmark$ Tích lượng giác bậc một của sin và cosin $\xrightarrow{P P}$ khai triển theo công thức tích thành tổng.
– $\sin a x \cdot \cos b x=\frac{1}{2}[\sin (a+b) x+\sin (a-b) x]$
– $\sin a x \cdot \sin b x=\frac{1}{2}[\cos (a-b) x-\cos (a+b) x]$
– $\cos a x \cdot \cos b x=\frac{1}{2}[\cos (a+b) x+\cos (a-b) x]$
Bậc chẵn của sin và cosin $\xrightarrow{P P}$ Hạ bậc:
– $\sin ^2 x=\frac{1-\cos 2 x}{2} ; \quad \cos ^2 x=\frac{1+\cos 2 x}{2}$
– $\sin ^4 x+\cos ^4 x=1-\frac{1}{2} \sin ^2 2 x=\frac{1}{4} \cos 4 x+\frac{3}{4}$
– $\sin ^6 x+\cos ^6 x=1-\frac{3}{4} \sin ^2 2 x=\frac{3}{8} \cos 4 x+\frac{5}{8}$
Sử dụng phương pháp đổi biến để đưa bài toán tích phân lượng giác thành bài toán tính tích phân cơ bản. Một số dạng đổi biến thường gặp:
1.1) $I=\int_\alpha^\beta f[\sin x] \cos x d x$. Đặt $t=\sin x \Rightarrow d t=\cos x d x$
1.2) $I=\int_\alpha^\beta f[\cos x] \sin x d x$. Đặt $t=\cos x \Rightarrow d t=-\sin x d x$
2.1) $I=\int_\alpha^\beta f\left[\sin ^2 x\right] \sin 2 x d x$. Đặt $t=\sin ^2 x \Rightarrow d t=\sin 2 x d x$
2.2) $I=\int_\alpha^\beta f\left[\cos ^2 x\right] \sin 2 x d x$. Đặt $t=\cos ^2 x \Rightarrow d t=-\sin 2 x d x$
3.1) $I=\int_\alpha^\beta f[\tan x] \frac{1}{\cos ^2 x} d x$. Đặt $t=\tan x \Rightarrow d t=\frac{1}{\cos ^2 x} d x=\left(1+\tan ^2 x\right) d x$
3.2) $I=\int_\alpha^\beta f[\cot x] \frac{1}{\sin ^2 x} d x$. Đặt $t=\cot x \Rightarrow d t=-\frac{1}{\cos ^2 x} d x=-\left(1+\cot ^2 x\right) d x$
4.1) $I=\int_\alpha^\beta f[\sin x+\cos x](\cos x-\sin x) d x$. Đặt $t=\sin x+\cos x \Rightarrow d t=(\cos x-\sin x) d x$
4.2) $I=\int_\alpha^\beta f[\sin x-\cos x](\cos x+\sin x) d x$. Đặt $t=\sin x-\cos x \Rightarrow d u=(\cos x+\sin x) d x$
Tính tích phân hàm lượng giác
