Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Chào các em học sinh lớp 10 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ giáo viên tại hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một bài viết hết sức hữu ích và thú vị về Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. Đây là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 10, giúp các em hiểu sâu hơn về sự biến thiên của đồ thị hàm số.
Với lối viết dễ hiểu, sinh động cùng những ví dụ minh họa trực quan, bài viết hứa hẹn sẽ mang đến cho các em những kiến thức bổ ích, giúp việc học toán trở nên thú vị và hiệu quả hơn. Hãy cùng chúng mình khám phá ngay bài viết này nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Dạng 3: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
1. Phương pháp
Cho hàm số $f$ xác định trên $K$.
– $y=f(x)$ đồng biến trên $K \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in K: x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$
– $y=f(x)$ nghịch biến trên $K \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in K: x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$
Từ đó, ta có hai cách để xét tính đồng biến nghịch biến:
Cách 1: $\forall x_1, x_2 \in K: x_1<x_2$. Xét hiệu số $A=f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$ – Nếu $A>0$ thì hàm số đồng biến
– Nếu $A<0$ thì hàm số nghịch biến
Cách 2: $\forall x_1, x_2 \in K: x_1 \neq x_2$. Xét tỉ số $A=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$ – Nếu $A>0$ thì hàm số đồng biến
– Nếu $A<0$ thì hàm số nghịch biến
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số sau
a) $y=x^2-4 x+6$ trên mỗi khoảng $(-\infty ; 2) ;(2+\infty)$
b) $y=-x^2-6 x+5$ trên mỗi khoảng $(-\infty ;-3) ;(-3 ;+\infty)$
Hướng dẫn
a) Với $x_1 \neq x_2$, ta có:
$$
\mathrm{A}=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=x_2+x_1-4=\left(x_2-2\right)+\left(x_1-2\right)
$$
Do đó:
$$
\Delta \forall \mathrm{x}_1, x_2 \in(-\infty ; 2), \mathrm{x}_1 \neq x_2 \Rightarrow x_1<2 ; x_2<2 \Rightarrow x_1-2<0, x_2-2<0 \Rightarrow A<0 $$ Vậy, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ; 2)$ $$ \Delta \forall \mathrm{x}_1, x_2 \in(2 ;+\infty), \mathrm{x}_1 \neq x_2 \Rightarrow x_1>2 ; x_2>2 \Rightarrow x_1-2>0, x_2-2>0 \Rightarrow A>0
$$
Vậy, hàm số đồng biến trên $(2 ;+\infty)$.
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số sau
a) $y=\frac{3}{x-1} \quad$ trên mỗi khoảng $(-\infty ; 1) ;(1 ;+\infty)$
b) $y=\frac{x+1}{2 x+4}$ trên mỗi khoảng $(-\infty ;-2) ;(-2 ;+\infty)$
Hướng dẫn
a) Với $x_1 \neq x_2$, ta có:
$$
\mathrm{A}=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{-3}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}
$$
Do đó:
$$
\Delta \forall \mathrm{x}_1, x_2 \in(-\infty ; 1), \mathrm{x}_1 \neq x_2 \Rightarrow x_1<1 ; x_2<1 \Rightarrow x_1-1<0, x_2-1<0 \Rightarrow A<0 $$ Vậy, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ; 1)$ $$ \Delta \forall \mathrm{x}_1, x_2 \in(1 ;+\infty), \mathrm{x}_1 \neq x_2 \Rightarrow x_1>1 ; x_2>1 \Rightarrow x_1-1>0, x_2-1>0 \Rightarrow A<0
$$
Vậy, hàm số nghịch biến trên $(1 ;+\infty)$.
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của hàm số sau
a) $y=\sqrt[3]{x}+3$;
b) $y=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$
Hướng dẫn
a) Tập xác định: $\mathrm{D}=\mathbb{R}$
$$
\forall \mathrm{x}_1, x_2 \in \mathbb{R}: x_1 $$
Vậy, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) Tập xác định: $\mathrm{D}=[0 ;+\infty) \backslash\{1\}$
$\forall \mathrm{x}_1, x_2 \in D, \mathrm{x}_1 \neq x_2$, ta có:
$$
\mathrm{A}=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{-1}{\left(\sqrt{x_1}-1\right)\left(\sqrt{x_2}-1\right)\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)}
$$
Do đó:
$$
\Delta \forall \mathrm{x}_1, x_2 \in[0 ; 1), \mathrm{x}_1 \neq x_2 \Rightarrow 0 \leq x_1<1 ; 0 \leq x_2<1 \Rightarrow \sqrt{x_1}-1<0, \sqrt{x_2}-1<0 \Rightarrow A<0 $$ Vậy, hàm số nghịch biến trên $[0 ; 1)$ $$ \Delta \forall \mathrm{x}_1, x_2 \in(1 ;+\infty), \mathrm{x}_1 \neq x_2 \Rightarrow x_1>1 ; x_2>1 \Rightarrow \sqrt{x_1}-1>0, \sqrt{x_2}-1>0 \Rightarrow A<0
$$
Vậy, hàm số nghịch biến trên $(1 ;+\infty)$.
Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số