Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng khám phá một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 12 – Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit. Đây là những kiến thức nền tảng giúp các em thành thạo giải các bài toán phức tạp và mở ra cánh cửa tri thức mới. Với lối giải thích dễ hiểu, sinh động cùng những ví dụ minh họa thiết thực, bài viết này hứa hẹn sẽ là người bạn đồng hành đắc lực trên con đường chinh phục đỉnh cao toán học của các em. Hãy cùng hdgmvietnam.org bắt đầu hành trình khám phá thú vị này nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Trích dẫn nội dung Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

ĐẠO HÀM CỦA HÀM LŨY THỪA
– Hàm số $y=x^\alpha,(\alpha \in \mathbb{R})$ có đạo hàm với mọi $x>0$ và $\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}$.
– Nếu hàm số $u=u(x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm trên $\mathrm{J}$ thì hàm số $y=u^\alpha(x)$ cũng có đạo hàm trên $\mathrm{J}$ và $\left(u^\alpha(x)\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{\alpha-1}(x) \cdot u^{\prime}(x)$

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ
$\circ\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \cdot \ln a$
$\circ\left(a^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^u \cdot \ln a$
$\circ(\sqrt[n]{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{n \cdot \sqrt[n]{u^{n-1}}}$
$\circ\left(e^x\right)^{\prime}=e^x$
$\circ\left(e^u\right)^{\prime}=e^u \cdot u^{\prime}$

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LOGARIT
$$
\begin{aligned}
& \left(\log _a|x|\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln a} \Rightarrow\left(\log _a|u|\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a} \\
& (\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x},(x>0) \Rightarrow(\ln |u|)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}
\end{aligned} \Rightarrow\left(\ln ^n|u|\right)^{\prime}=n \cdot \frac{u^{\prime}}{u} \cdot \ln ^{n-1}|u|
$$

II. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Bài toán 1: Tính đạo hàm của hàm số $y=\left(2 x^2+x-1\right)^{\frac{2}{3}}$.
A. $y^{\prime}=\frac{2(4 x+1)}{3 \sqrt[3]{2 x^2+x-1}}$.
B. $y^{\prime}=\frac{2(4 x+1)}{3 \sqrt[3]{\left(2 x^2+x-1\right)^2}}$.
C. $y^{\prime}=\frac{3(4 x+1)}{2 \sqrt[3]{2 x^2+x-1}}$.
D. $y^{\prime}=\frac{3(4 x+1)}{2 \sqrt[3]{\left(2 x^2+x-1\right)^2}}$.

Lời giải:
Áp dụng công thức $\left(u^\alpha\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{\alpha-1} \cdot u^{\prime}$, ta có $y^{\prime}=\frac{2}{3} \cdot\left(2 x^2+x-1\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot\left(2 x^2+x-1\right)^{\prime}$ $=\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{2 x^2+x-1}} \cdot(4 x+1)=\frac{2(4 x+1)}{3 \sqrt[3]{2 x^2+x-1}}$. Chọn A.

Bài toán 2: (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x+1}{4^x}$.
A. $y^{\prime}=\frac{1-2(x+1) \ln 2}{2^{2 x}}$.
B. $y^{\prime}=\frac{1+2(x+1) \ln 2}{2^{2 x}}$.
C. $y^{\prime}=\frac{1-2(x+1) \ln 2}{4^{x^2}}$.
D. $y^{\prime}=\frac{1+2(x+1) \ln 2}{4^{x^2}}$.

Lời giải:
Ta có $y^{\prime}=\left(\frac{x+1}{4^x}\right)^{\prime}=\frac{(x+1)^{\prime} \cdot 4^x-(x+1) \cdot\left(4^x\right)^{\prime}}{\left(4^x\right)^2}$
$$
=\frac{4^x-(x+1) \cdot 4^x \cdot \ln 4}{\left(4^x\right)^2}=\frac{1-(x+1) \cdot \ln 4}{4^x} \frac{\ln 4=2 \cdot \ln 2}{4^x=\left(2^2\right)^x=2^{2 x}} y^{\prime}=\frac{1-2(x+1) \ln 2}{2^{2 x}} \text {. Chọn A. }
$$

Bài toán 3: (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tính đạo hàm của hàm số $y=\log _2(2 x+1)$.
A. $y^{\prime}=\frac{2}{2 x+1}$.
B. $y^{\prime}=\frac{1}{2 x+1}$.
C. $y^{\prime}=\frac{2}{(2 x+1) \ln 2}$.
D. $y^{\prime}=\frac{1}{(2 x+1) \ln 2}$.

Lời giải:
Áp dụng $\left(\log _a u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}$, ta được $y^{\prime}=\frac{(2 x+1)^{\prime}}{(2 x+1) \cdot \ln 2}=\frac{2}{(2 x+1) \cdot \ln 2}$. Chọn C.

Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Tải tài liệu