Tìm tọa độ đỉnh và giao điểm của parabol với các trục tọa độ, tọa độ giao điểm giữa parabol với đường thẳng

Chào các em học sinh lớp 10 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng khám phá một chủ đề thú vị trong chương trình Toán 10: Tìm tọa độ đỉnh và giao điểm của parabol với các trục tọa độ, cũng như tọa độ giao điểm giữa parabol với đường thẳng. Đây là những kiến thức quan trọng, không chỉ giúp các em nắm vững lý thuyết mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. Hãy cùng đội ngũ hdgmvietnam.org đi sâu vào bài học, nắm bắt các khái niệm cốt lõi và áp dụng chúng vào bài tập một cách hiệu quả nhé. Chúng mình tin rằng với sự chăm chỉ và đam mê, các em sẽ chinh phục được môn Toán một cách dễ dàng!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Tìm tọa độ đỉnh và giao điểm của parabol với các trục tọa độ, tọa độ giao điểm giữa parabol với đường thẳng

Dạng 2. Tìm tọa độ đỉnh và giao điểm của parabol với các trục tọa độ, tọa độ giao điểm giữa parabol với đường thẳng
Phương pháp:
– Dựa vào các công thức cần nhớ để tìm tọa độ của đỉnh, giao điểm của parabol với các trục tọa độ. Tuy nhiên, khi tìm tọa độ của đỉnh $I$ thì ta chỉ cần tìm hoành độ $x_0=-\frac{b}{2 a}$. Rồi sau đó thế $x_0$ vào hàm số ban đầu để tìm $y_0=a x_0{ }^2+b x_0+c$ là tung độ của đỉnh $I$.
– Dựa vào phương trình hoành độ giao điểm để xác định giao điểm của parabol $(P)$ với đường thẳng.

BÀI TẬP DẠNG 2
Ví dụ 1. Cho hàm số $y=x^2-4 x+3$ có đồ thị là parabol $(P)$. Tìm tọa độ của đỉnh, giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành.
Lời giải.
Từ đề ta có: $a=1, b=-4, c=3$. Vậy hoành độ của đỉnh $I$ là: $x_0=-\frac{b}{2 a}=-\frac{-4}{2.1}=2$. $\Rightarrow y_0=2^2-4.2+3=-1$. Vậy đỉnh $I(2 ;-1)$.
Giao điểm của $(P)$ và trục $O y$ : Cho $x=0 \Rightarrow y=3$. Vậy $(P)$ cắt trục $O y$ tại điểm $A(0 ; 3)$. Giao điểm của $(P)$ với trục $O x$ : Xét phương trình: $x^2-4 x+3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=3\end{array}\right.$. Vậy $(P)$ cắt trục $O x$ tại hai điểm $B(1 ; 0)$ và $C(3 ; 0)$.

Ví dụ 2. Cho hàm số $y=-x^2-3 x+1$ có đồ thị là parabol $(P)$. Tìm tọa độ của đỉnh, giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành.
Lời giải.
Từ đề ta có: $a=-1, b=-3, c=1$. Vậy hoành độ của đỉnh $I$ là: $x_0=-\frac{b}{2 a}=-\frac{-3}{-2.1}=-\frac{3}{2}$. $\Rightarrow y_0=-\left(-\frac{3}{2}\right)^2-3 .\left(-\frac{3}{2}\right)+1=\frac{13}{4}$. Vậy đỉnh $I\left(-\frac{3}{2} ; \frac{13}{4}\right)$.
Giao điểm của $(P)$ và trục $O y$ : Cho $x=0 \Rightarrow y=1$. Vậy $(P)$ cắt trục $O y$ tại điểm $A(0 ; 1)$.
Giao điểm của $(P)$ với trục $O x$ : Xét phương trình: $-x^2-3 x+1=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{-3+\sqrt{13}}{2} \\ x=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.$. Vậy $(P)$ cắt trục $O x$ tại hai điểm $B\left(\frac{-3+\sqrt{13}}{2} ; 0\right)$ và $C\left(\frac{-3-\sqrt{13}}{2} ; 0\right)$.

Ví dụ 3. Cho hàm số $y=-x^2+x+2$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d: 4 x+y-3=0$. Tìm giao điểm của đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$.
Lời giải.
Đường thẳng $d: y=-4 x+3$. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$-x^2+x+2=-4 x+3 \Leftrightarrow x^2-5 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow y=1 \\ x=5 \Rightarrow y=11\end{array}\right.$. Vậy đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$ cắt nhau tại hai điểm: $A(0 ; 1)$ và $B(5 ; 11)$.