Tìm tâm và bán kính đường tròn
Chào mừng các em học sinh lớp 10 đến với bài viết “Tìm tâm và bán kính đường tròn” của hdgmvietnam.org! Chúng tôi hiểu rằng Toán học đôi khi có thể khó nắm bắt, nhưng đừng lo lắng. Bài viết này được thiết kế đặc biệt để giúp các em hiểu rõ và làm chủ chủ đề này một cách dễ dàng. Với lời giải thích đơn giản, minh họa trực quan và các ví dụ sinh động, chúng tôi tin rằng các em sẽ nhanh chóng nắm vững cách xác định tâm và bán kính của đường tròn. Hãy cùng khám phá và trải nghiệm niềm vui của Toán học nhé! Chúng tôi sẵn sàng đồng hành cùng các em trên hành trình chinh phục tri thức này.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Tìm tâm và bán kính đường tròn
Dạng 1. Tìm tâm và bán kính đường tròn.
Phương pháp giải:
– Cách 1. Đưa phương trình về dạng: $(C): x^2+y^2-2 a x-2 b y+c=0$ (1). Xét dấu biểu thức $P=a^2+b^2-c$.
+ Nếu $P>0$ thì (1) là phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(a ; b)$ và bán kính $R=$ $\sqrt{a^2+b^2-c}$.
+ Nếu $P \leq 0$ thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
– Cách 2. Đưa phương trình về dạng: $(x-a)^2+(y-b)^2=P(2)$.
+ Nếu $P>0$ thì (2) là phương trình đường tròn có tâm $I(a ; b)$ và bán kính $R=\sqrt{P}$.
+ Nếu $P \leq 0$ thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
BÀI TẬP DẠNG 1
Ví dụ 1. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó (nếu có).
a) $x^2+y^2+2 x-4 y+9=0$ (1).
b) $x^2+y^2-6 x+4 y+13=0(2)$.
c) $2 x^2+2 y^2-6 x-4 y-1=0(3)$.
d) $2 x^2+y^2+2 x-3 y+9=0$
Lời giải.
a) Phương trình (1) có dạng $x^2+y^2-2 a x-2 b y+c=0$ với $a=-1 ; b=2 ; c=9$.
Ta có $a^2+b^2-c=1+4-9<0$.
Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có: $a^2+b^2-c=9+4-13=0$.
Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có: $(3) \Leftrightarrow x^2+y^2-3 x-2 y-\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+(y-1)^2=\frac{5}{2}$.
Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm $I\left(\frac{3}{2} ; 1\right)$ bán kính $R=\frac{\sqrt{10}}{2}$.
d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của $x^2$ và $y^2$ khác nhau.
Ví dụ 2. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó (nếu có).
a) $x^2+y^2+2 x-6 y-15=0$ (1).
b) $2 x^2+2 y^2+4 x+8 y+14=0(2)$.
Lời giải.
a) Ta có: $\left\{\begin{aligned}-2 a & =2 \\ -2 b & =-6 \\ c & =-15\end{aligned} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=3 \\ c=-15\end{array} \Rightarrow a^2+b^2-c=25>0\right.\right.$.
Vậy phương trình (1) là phương trình của đường tròn $(C)$ có tâm $I(-1 ; 3)$ và bán kính $R=5$.
b) Ta có: $(2) \Leftrightarrow x^2+y^2+2 x+4 y+7=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}-2 a=2 \\ -2 b=4 \\ c=7\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=-2 \\ c=7\end{array} \Rightarrow a^2+b^2-c=-2<0\right.\right.$.
Vậy phương trình (2) không là phương trình của đường tròn.
Ví dụ 3. Cho phương trình $x^2+y^2-2 m x-4(m-2) y+6-m=0$ (1). Tìm điều kiện của $m$ để (1) là phương trình đường tròn.
Lời giải.
Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$, với $a=m ; b=2(m-2) ; c=$ $6-m$.
Hay $m^2+4(m-2)^2-6+m>0 \Leftrightarrow 5 m^2-15 m+10>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m>2 \\ m<1\end{array}\right.$.
Tìm tâm và bán kính đường tròn
