Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Đội ngũ hdgmvietnam.org xin gửi tới các em bài viết “Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần”. Đây là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp các em nắm vững cách tìm nguyên hàm của các hàm số phức tạp. Với lối viết dễ hiểu, sinh động cùng những ví dụ minh họa cụ thể, bài viết hứa hẹn sẽ là người bạn đồng hành đắc lực trên con đường chinh phục môn Toán của các em. Hãy cùng khám phá và làm chủ phương pháp tìm nguyên hàm từng phần để việc học trở nên thú vị và hiệu quả hơn bao giờ hết nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

III. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

1. Phương pháp

Thuật toán:
– Bước 1: Ta biến đổi bài toán về dạng : $I=\int f(x) d x=\int f_1(x) \cdot f_2(x) d x$
– Bước 2: Đặt : $\left\{\begin{array}{l}u=f_1(x) \\ d v=f_2(x)\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f_1^{\prime}(x) d x \\ v=\int f_2(x) d x\end{array}\right.\right.$
– Bước 3: Khi đó : $\int u . d v=u . v-\int v . d u$
Chú ý: Cần phải lựa chọn $u$ và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được $v$ và nguyên hàm $\int v d u$ dễ tính hơn $\int u d v$.
THỨ TỰ ƯU TIÊN ĐẶT u : NHẤT – LOG; NHÌ – ĐA, TAM – LƯỢNG; TỨ – MŨ
Nghĩa là nếu có $\ln$ hay $\log _a x$ thì chọn $u=\ln$ hay $u=\log _a x=\frac{\ln x}{\ln a}$ và $d v=$ còn lại. Nếu không có $\ln$; log thì chọn $u=$ đa thức và $d v=$ còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn $u=$ lượng giác,….cuối cùng là mũ.
Ta thường gặp các dạng sau: (Với $P(x)$ là đa thức)
– Lưu ý rằng bậc của đa thúc và bậc của ln tương úng với số lần lấy nguyên hàm.
– Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.

2. Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

Bài toán 1

Tìm các họ nguyên hàm sau đây
a) $\int(x+2) e^{2 x} d x$
b) $\int(2 x-1) \cos x d x$
c) $\int\left(3 x^2-1\right) \ln x d x$
d) $\int(4 x-1) \ln (x+1) d x$

Lời giải:

a) Xét $\int(x+2) e^{2 x} d x$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x+2 \\ d v=e^{2 x} d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=\frac{1}{2} e^{2 x}\end{array}\right.\right.$
Khi đó $\int(x+2) e^{2 x} d x=\frac{1}{2}(x+2) e^{2 x}-\int \frac{1}{2} e^{2 x} d x=\frac{1}{2}(x+2) e^{2 x}-\frac{1}{4} e^{2 x}+C$
Vậy $\int(x+2) e^{2 x} d x=\frac{1}{4}(2 x+3) e^{2 x}+C$.

b) Xét $\int(2 x-1) \cos x d x$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=2 x-1 \\ d v=\cos x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=2 d x \\ v=\sin x\end{array}\right.\right.$
Khi đó $\int(2 x-1) \cos x d x=(2 x-1) \sin x-\int 2 \sin x d x=(2 x-1) \sin x+2 \cos x+C$
Vậy $\int(x+2) e^{2 x} d x=\frac{1}{4}(2 x+3) e^{2 x}+C$

c) Xét $\int\left(3 x^2-1\right) \ln x d x$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=\left(3 x^2-1\right) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{1}{x} d x \\ v=x^3-x\end{array}\right.\right.$
Khi đó $\int\left(3 x^2-1\right) \ln x d x=\left(x^3-x\right) \ln x-\int\left(x^2-1\right) d x=\left(x^3-x\right) \ln x-\left(\frac{1}{3} x^3-x\right)+C$.

d) Xét $\int(4 x-1) \ln (x+1) d x$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln (x+1) \\ d v=(4 x-1) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{1}{x+1} d x \\ v=2 x^2-x\end{array}\right.\right.$
Khi đó $\int(4 x-1) \ln (x+1) d x=\left(2 x^2-x\right) \ln (x+1)-\int \frac{2 x^2-x}{x+1} d x$
$$
\begin{aligned}
& =\left(2 x^2-x\right) \ln (x+1)-\int\left(2 x-3+\frac{3}{x+1}\right) d x \\
& =\left(2 x^2-x\right) \ln (x+1)-\left(x^2-3 x+3 \ln (x+1)\right)+C \\
& =\left(2 x^2-x-3\right) \ln (x+1)-x^2+3 x+C .
\end{aligned}
$$

Bài toán 2

Hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn $\int f(x) \sin d x=-f(x) \cos x+\int \pi^x \cos x d x$. Tìm $y=f(x)$ ?

Lời giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có:
Đặt $\left\{\begin{array}{c}u=f(x) \\ d v=\sin x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=-\cos x\end{array}\right.\right.$
$\int f(x) \sin x d x=-f(x) \cos x+\int f^{\prime}(x) \cos x d x$
Mà theo giả thiết $\int f(x) \sin x d x=-f(x) \cos x+\int \pi^x \cos x d x$.
Suy ra $f^{\prime}(x)=\pi^x \Rightarrow f(x)=\int \pi^x d x=\frac{\pi^x}{\ln \pi}+C$.

Bài toán 3

Tìm nguyên hàm $I=\int x \ln \left(2+x^2\right) d x$

Lời giải:

Cách giải thông thường:
Đặt $\left\{\begin{array}{c}u=\ln \left(2+x^2\right) \\ d v=x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}d u=\frac{2 x}{2+x^2} \\ v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right.\right.$
Khi đó: $I=\frac{x^2}{2} \ln \left(2+x^2\right)-\int \frac{x^3}{2+x^2} d x=\frac{x^2}{2} \ln \left(2+x^2\right)-I_1$.
$$
\begin{aligned}
& + \text { Tìm } I_1=\int \frac{x^3}{2+x^2} d x \text {. Đặt } t=2+x^2 \Rightarrow d t=2 x d x \Leftrightarrow x d x=\frac{d t}{2} \\
& \Rightarrow I_1=\int \frac{t-2}{t} \cdot \frac{d t}{2}=\frac{1}{2} \int\left(1-\frac{2}{t}\right) d t=\frac{1}{2}(t-2 \ln |t|)+C=\frac{1}{2}\left[\left(2+x^2\right)-2 \ln \left(2+x^2\right)\right]+C \text {. } \\
& \Rightarrow I=\frac{x^2}{2} \ln \left(2+x^2\right)-I_1=\frac{x^2}{2} \ln \left(2+x^2\right)-\frac{1}{2}\left[\left(2+x^2\right)-2 \ln \left(2+x^2\right)\right]+C_1 \\
& =\frac{2+x^2}{2} \ln \left(2+x^2\right)-\frac{2+x^2}{2}+C_1=\frac{2+x^2}{2} \ln \left(2+x^2\right)-\frac{x^2}{2}+\mathrm{C} . \\
&
\end{aligned}
$$

Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số”:
Đặt $\left\{\begin{array}{c}u=\ln \left(2+x^2\right) \\ d v=x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}d u=\frac{2 x}{2+x^2} \\ v=\frac{x^2}{2}+1=\frac{2+x^2}{2}\end{array} \quad\left(v=\int x d x=\frac{x^2}{2}+C\right.\right.\right.$ và ta chọn $C=1$ nên $\left.v=\frac{x^2}{2}+1\right)$
Khi đó: $I=\frac{2+x^2}{2} \ln \left(2+x^2\right)-\int x d x=\frac{2+x^2}{2} \ln \left(2+x^2\right)-\frac{x^2}{2}+\mathrm{C}$.
Nhận xét: Qua bài toán trên các em được làm quen thêm một kĩ thuật chọn hệ số cho phương pháp tích phân từng phân. Kĩ thuật này được trình bày sau đây.

Kĩ thuật chọn hệ số
Khi đi tính tích phân từng phần, ở khâu đặt $\left\{\begin{array}{c}u=f(x) \\ d v=g(x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=G(x)+C\end{array}\right.\right.$ với $C$ là hằng số bất kỳ ( chọn số nào cũng được ). Và theo một “thói quen” thì chúng ta thường chọn $C=0$. Nhưng việc chọn $C=0$ lại làm cho việc tìm nguyên hàm (tích phân) $\int v d u$ không được “đẹp” cho lắm. Vì ta có quyền chọn $C$ là số thực bất kì nên ta sẽ chọn hệ số $C$ thích hợp mà ở đó biếu thức $v d u$ là đơn giản nhất. Cách làm như thế được gọi là “kĩ thuật chọn hệ số”.