Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Tài liệu này trình bày chi tiết về phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm. Nó bao gồm công thức tổng quát, các bước thực hiện, và các dạng thường gặp khi áp dụng phương pháp này. Tài liệu cũng cung cấp các ví dụ cụ thể và lưu ý quan trọng khi sử dụng phương pháp đổi biến số.

Phương pháp đổi biến số được sử dụng để tìm nguyên hàm của một hàm số phức tạp bằng cách thay thế biến ban đầu bằng một biến mới, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán.

Dưới đây là file PDF của Bài viết “Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số” do Đội ngũ hdgmvietnam.org biên soạn, các em học sinh và thầy cô có thể xem trực tiếp trên trang web hoặc tải về miễn phí

Tải tài liệu

Trích dẫn file PDF

Các bước thực hiện:

1. Đặt $t = g(x)$, trong đó g(x) là một hàm số thích hợp.
2. Tính $x = g^{-1}(t)$ và $dx = (g^{-1}(t))’dt$.
3. Thay thế các biểu thức trên vào tích phân ban đầu.
4. Tính tích phân theo biến t.
5. Thay $t = g(x)$ vào kết quả để được nguyên hàm theo x.

Công thức tổng quát:

$\int f(x)dx = \int f(g^{-1}(t)) \cdot (g^{-1}(t))’dt$

Các dạng thường gặp:

1. Dạng $\int R(\sin x, \cos x)dx$:
   Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$, khi đó:
   $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$
   $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$
   $dx = \frac{2dt}{1+t^2}$
2. Dạng $\int R(e^x)dx$:
   Đặt $t = e^x$, khi đó:
   $x = \ln t$
   $dx = \frac{dt}{t}$
3. Dạng $\int R(\sqrt{ax+b})dx$:
   Đặt $t = \sqrt{ax+b}$, khi đó:
   $x = \frac{t^2-b}{a}$
   $dx = \frac{2t}{a}dt$
4. Dạng $\int R(x, \sqrt{x^2+a})dx$:
   Đặt $x = a\tan t$, khi đó:
   $\sqrt{x^2+a^2} = a\sec t$
   $dx = a\sec^2 t dt$

Lưu ý quan trọng:

• Việc chọn biến số mới phụ thuộc vào dạng của hàm số cần tích phân.
• Sau khi đổi biến, cần kiểm tra kỹ các giới hạn tích phân mới (nếu có).
• Đôi khi cần kết hợp phương pháp đổi biến với các phương pháp tính tích phân khác để đạt kết quả tối ưu.