Tìm hệ số và tìm số hạng chứa x^k

Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho các em một chủ đề toán học vô cùng hấp dẫn và bổ ích: Tìm hệ số và tìm số hạng chứa x^k. Đây là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp các em nắm vững cách tìm các thành phần của một đa thức. Thông qua bài viết này, chúng mình sẽ hướng dẫn các em từng bước một cách chi tiết, dễ hiểu và sinh động. Hãy cùng khám phá và chinh phục chủ đề này để làm chủ môn Toán nhé! Chúng mình tin rằng với sự chăm chỉ và đam mê, các em sẽ nhanh chóng tiến bộ và đạt được kết quả tuyệt vời.

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Trích dẫn nội dung Tìm hệ số và tìm số hạng chứa $x^k$

Dạng 4. Tìm hệ số và tìm số hạng chứa $x^k$.
Xác định số hạng tổng quát $T_k=\mathrm{C}_n^k a^{n-k} b^k$ trong khai triển $(a+b)^n$ và kết hợp với yêu cầu của bài toán để thiết lập một phương trình, từ đó tìm ra kết quả mà bài toán yêu cầu. Lưu ý rằng $T_k$ là số hạng thức $k+1$ trong khai triển $(a+b)^n$ theo lũy thừa tăng dần của $b$.
Đối với các biểu thức dạng $(a+b+c)^k$ ta biến đổi $(a+b+c)^k=[a+(b+c)]^k$ rồi áp dụng khai triển nhị thức Newton 2 lần và tìm số hạng tổng quát.

BÀI TẬP DẠNG 4
Ví dụ 1. Tìm hệ số của $x^{15}$ trong khai triển $\left(3 x^2-2 x\right)^{10}$.
Lời giải.
Theo công thức ở trên, ta có số hạng tổng quát trong khai triển là
$$
T_k=\mathrm{C}_{10}^k\left(3 x^2\right)^{10-k}(-2 x)^k=\mathrm{C}_{10}^k 3^{10-k}(-2)^k x^{20-k}
$$
Số hạng chứa $x^{15}$ tương ứng với số hạng tổng quát có $k$ thỏa mãn $20-k=15 \Leftrightarrow k=5$.
Vậy số hạng chứa $x^{15}$ trong khai triển là $T_5=\mathrm{C}_{10}^5 3^5(-2)^5 x^{15}=-6^5 \mathrm{C}_{10}^5 x^{15}$

Ví dụ 2. Tìm số hạng chứa $x^{13}$ trong các khai triển $\left(x^3+2 x y\right)^{21}$.
Lời giải.
Số hạng tổng quát trong khai triển $\left(x^3+x y\right)^{21}$ là
$$
T_k=\mathrm{C}_{21}^k\left(x^3\right)^{21-k}(2 x y)^k=2^k \mathrm{C}_{21}^k x^{63-2 k} y^k
$$
Số hạng chứa $x^{13}$ tương ứng với số hạng có $k$ thỏa mãn $63-2 k=13 \Leftrightarrow k=25$.
Vậy số hạng chứa $x^{13}$ trong khai triển đã cho là $2^{25} \mathrm{C}_{12}^{25} x^{13} y^{25}$.

Ví dụ 3. Tìm hệ số của $x^{12}$ trong khai triển $\left(x^2+1\right)^n$, biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển đó bằng 1024 .
Lời giải.
Ta có
$$
\left(x^2+1\right)^n=\sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k\left(x^2\right)^k
$$
Gọi $S$ là tổng tất cả các hệ số trong khai triển, khi đó $S=\sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k=(1+1)^2=2^n$.
Do đó $2^n=1024 \Rightarrow n=10$.
Số hạng tổng quát trong khai triển $\left(x^2+1\right)^{10}$ là $T_k=\mathrm{C}_{10}^k\left(x^2\right)^k=\mathrm{C}_{10}^k x^{2 k}$.
Số hạng chứa $x^{12}$ tương ứng với số hạng tổng quát có $k$ thỏa mãn $2 k=12 \Leftrightarrow k=6$.
Vậy hệ số của $x^{12}$ trong khai triển là $\mathrm{C}_{10}^6=210$.

Tìm hệ số và tìm số hạng chứa $x^k$

Tải tài liệu