Tìm điều kiện xác định của phương trình

Chào các em học sinh lớp 10 thân mến! Đội ngũ hdgmvietnam.org xin gửi tới các em bài viết “Tìm điều kiện xác định của phương trình” – một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 10. Với mong muốn giúp các em nắm vững kiến thức và phương pháp giải, chúng tôi đã tổng hợp những kiến thức cốt lõi, kèm theo các ví dụ minh họa sinh động. Hy vọng rằng, thông qua bài viết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về điều kiện xác định của phương trình, từ đó vận dụng linh hoạt vào các bài toán. Hãy cùng chúng tôi khám phá thế giới toán học kỳ thú này nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Tìm điều kiện xác định của phương trình

Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình
Điều kiện xác định của phương trình (gọi tắt là điều kiện của phương trình) là những điều kiện cần của ẩn $x$ để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.
Các dạng thường gặp:
a) Điều kiện để biểu thức $\sqrt{f(x)}$ có nghĩa là $f(x) \geq 0$;
b) Điều kiện để biểu thức $\frac{1}{f(x)}$ có nghĩa là $f(x) \neq 0$;
c) Điều kiện để biểu thức $\frac{1}{\sqrt{f(x)}}$ có nghĩa là $f(x)>0$.

BÀI TẬP DẠNG 1
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của các phương trình sau:
a) $\frac{1}{x+1}=3$
c) $\frac{1}{\sqrt{x+2}}=x+1$;
b) $\sqrt{x-5}=1$;
d) $\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x-3}=x+5$.

Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là $x+1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq-1$.
b) Điều kiện xác định của phương trình là $x-5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 5$.
c) Điều kiện xác định của phương trình là $x+2>0 \Leftrightarrow x>-2$.
d) Điều kiện xác định của phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x+1 \neq 0 \\ x-3 \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \neq-1 \\ x \neq 3\end{array}\right.\right.$.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) $\frac{3}{x^2-4}=\frac{\sqrt{3-x}}{3}$;
b) $\frac{2 x-1}{\sqrt{x-3}}=\sqrt{1-x}$.

Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x^2-4 \neq 0 \\ 3-x \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \neq \pm 2 \\ 3 \geq x\end{array}\right.\right.$.
b) Điều kiện xác định của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x-3>0 \\ 1-x \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>3 \\ x \leq 1\end{array}\right.\right.$. Vậy không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn cả hai điều kiện này.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra nghiệm của các phương trình sau:
a) $\sqrt{3 x-4}=\sqrt{4-3 x}$
b) $3 x+5-\sqrt{x-3}=\sqrt{3-x}+2018$;
c) $\frac{\sqrt{5 x+15}}{x+3}=\sqrt{-x-3}$.

Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}3 x-4 \geq 0 \\ 4-3 x \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq \frac{4}{3} \\ x \leq \frac{4}{3}\end{array}\right.\right.$ hay $x=\frac{4}{3}$. Thay $x=\frac{4}{3}$ vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=\frac{4}{3}$.

b) Điều kiện xác định của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x-3 \geq 0 \\ 3-x \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 3 \\ x \leq 3\end{array} \Leftrightarrow x=3\right.\right.$. Thay $x=3$ vào phương trình ta có $3.3-0=0+2018$ (vô lý), vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Điều kiện xác định của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}5 x+15 \geq 0 \\ x+3 \neq 0 \\ -x-3 \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq-3 \\ x \neq-3 \\ x \leq-3\end{array}\right.\right.$. Vậy không có $x$ nào thỏa điều kiện xác định của phương trình nên phương trình vô nghiệm.