Tìm điều kiện để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Chào các bạn học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một chủ đề toán học thú vị và quan trọng: “Tìm điều kiện để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước”. Đây là một phần kiến thức then chốt trong chương trình Toán 12, giúp các bạn rèn luyện tư duy logic và kỹ năng phân tích hàm số. Qua bài viết này, chúng tôi hy vọng sẽ cung cấp cho các bạn những phương pháp giải bài toán hiệu quả, cùng với các ví dụ minh họa sinh động. Hãy cùng nhau bắt đầu cuộc hành trình khám phá thế giới hàm số bậc 3 đầy thú vị nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Tìm điều kiện để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
1. HÀM SỐ BậC 3: $y=a x^3+b x^2+c x+d(a \neq 0)$.
1.1 SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3
Ta có: $y^{\prime}=3 a x^2+2 b x+c=A x^2+B x+C, \Delta_{y^{\prime}}=B^2-4 A C=4\left(b^2-3 a c\right)$
Đối với trường hợp hàm bậc ba có hai điểm cục tri, ta có bài toán tổng quát sau đây:
1.2 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT :
Cho hàm số $y=f(x ; m)=a x^3+b x^2+c x+d$. Tìm tham số $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu tại $x_1, x_2$ thỏa mãn điều kiện $K$ cho trước?
Phương pháp:
Bước 1:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y^{\prime}=3 a x^2+2 b x+c=A x^2+B x+C$
Bước 2:
Hàm số có cực trị (hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)
$\Leftrightarrow$ Phương trình $y^{\prime}=0$ có hai nghiệm phân biệt
$$
\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ A = 3 a \neq 0 } \\
{ \Delta _ { y ^ { \prime } } = B ^ { 2 } – 4 A C = 4 b ^ { 2 } – 1 2 a c > 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
a \neq 0 \\
b^2-3 a c>0
\end{array} \Rightarrow m \in D_1 .\right.\right.
$$
– Bước 3: Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $y^{\prime}=0$. Khi đó:
$$
\left\{\begin{array}{l}
S=x_1+x_2=-\frac{B}{A}=-\frac{2 b}{3 a} \\
P=x_1 \cdot x_2=\frac{C}{A}=\frac{c}{3 a}
\end{array} .\right.
$$
Bước 4: Biến đổi điều kiện $K$ về dạng tổng $S$ và tích $P$. Từ đó giải ra tìm được $m \in D_2$.
Bước 5: Kết luận các giá trị $m$ thỏa mãn: $m=D_1 \cap D_2$.
Tìm điều kiện để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
