Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)
Xin chào các em học sinh lớp 11 thân mến!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một chủ đề toán học vô cùng thú vị và hữu ích: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x). Đây là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp các em hiểu sâu hơn về sự biến đổi của hàm số và ứng dụng của nó trong thực tế. Với lối giải thích dễ hiểu, sinh động và nhiều ví dụ minh họa, bài viết này hứa hẹn sẽ mang đến cho các em những kiến thức bổ ích và niềm đam mê học tập. Hãy cùng đội ngũ hdgmvietnam.org bắt đầu hành trình chinh phục đạo hàm cấp n nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)
Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp $\mathrm{n}$ của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$
1. Phương pháp
$\checkmark$ Tính đạo hàm $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}), \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x}), \mathrm{f}^{(3)}(\mathrm{x})$.
$\checkmark$ Dự đoán công thức đạo hàm cấp $n$ của hàm số.
$\checkmark$ Chứng minh công thức dự đoán bằng quy nạp toán học.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số $\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}$, dự đoán công thức $\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}(\mathrm{x})$ bằng:
A. $\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}=\sin (\mathrm{x}+\mathrm{n} \pi)$.
B. $\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}=\cos (\mathrm{x}+\mathrm{n} \pi)$.
C. $\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}=\sin \left(\mathrm{x}+\mathrm{n} \frac{\pi}{2}\right)$.
D. $\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}=\cos \left(\mathrm{x}-\mathrm{n} \cdot \frac{\pi}{2}\right)$.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
Ta chứng minh bằng quy nạp
Với $n=1$, ta có $y^{\prime}=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ đúng.
Giả sử công thức đúng với $\mathrm{n}=\mathrm{k}$, tức là $\mathrm{y}^{(\mathrm{k})}=\sin \left(\mathrm{x}+\mathrm{k} \frac{\pi}{2}\right)$.
Ta chứng minh công thức đúng với $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$, tức là chứng minh:
$\mathrm{y}^{(\mathrm{k}+1)}=\sin \left(\mathrm{x}+(\mathrm{k}+1) \frac{\pi}{2}\right)$. Thật vậy:
$\mathrm{y}^{(\mathrm{k}+1)}=\left[\mathrm{y}^{(\mathrm{k})}\right]^{\prime}=\left[\sin \left(\mathrm{x}+\mathrm{k} \frac{\pi}{2}\right)\right]^{\prime}=\cos \left(\mathrm{x}+\mathrm{k} \frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(\mathrm{x}+\mathrm{k} \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(\mathrm{x}+(\mathrm{k}+1) \frac{\pi}{2}\right)$. Vậy, ta được $\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}=\sin \left(\mathrm{x}+\mathrm{n} \frac{\pi}{2}\right)$.
Ví dụ 2: Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{2 \mathrm{x}+1}$, dự đoán công thức $\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}(\mathrm{x})$ bằng:
A. $\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}=\sin (\mathrm{x}+\mathrm{n} \pi)$.
B. $\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}=\cos (\mathrm{x}+\mathrm{n} \pi)$.
C. $y^{(n)}=\sin \left(x+n \frac{\pi}{2}\right)$.
D. $\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}=\cos \left(\mathrm{x}-\mathrm{n} \cdot \frac{\pi}{2}\right)$.
Hướng dẫn giải
$$
y^{\prime}=-\frac{2}{(2 x+1)^2} ; y^{\prime \prime}=\frac{2^2 \cdot 2}{(2 x+1)^3} \text { và } y^{\prime \prime \prime}=-\frac{2^3 \cdot 2 \cdot 3}{(1+x)^4} \text {. }
$$
Dự đoán:
$$
\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}=\frac{(-1)^{\mathrm{n}} \cdot 2^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{n}!}{(2 \mathrm{x}+1)^{\mathrm{n}+1}}
$$
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
Với $\mathrm{n}=1$, ta có:
$$
y^{\prime}=\frac{(-1) \cdot 2 \cdot 1!}{(2 x+1)^{1+1}}=-\frac{2}{(2 x+1)^2} \text { đúng. }
$$
Giả sử công thức đúng với $\mathrm{n}=\mathrm{k}$, tức là $\mathrm{y}^{(\mathrm{k})}=\frac{(-1)^{\mathrm{k}} \cdot 2^{\mathrm{k}} \cdot \mathrm{k} \text { ! }}{(2 \mathrm{x}+1)^{\mathrm{k}+1}}$.
Ta đi chứng minh (2) đúng với $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$, tức là chứng minh:
$$
y^{(k+1)}=\frac{(-1)^{k+1} \cdot 2^{k+1} \cdot(k+1)!}{(2 x+1)^{k+2}} .
$$
Thật vậy:
$$
\begin{aligned}
& y^{(k+1)}=\left[y^{(k)}\right]^{\prime}=\left[\frac{(-1)^k \cdot 2^k \cdot k!}{(2 x+1)^{k+1}}\right]^{\prime}=(-1)^k \cdot 2^k \cdot k!\left[\frac{1}{(2 x+1)^{k+1}}\right]^{\prime} \\
& =(-1)^k \cdot 2^k \cdot k!\left[-\frac{2(k+1)}{(2 x+1)^{k+2}}\right]=\frac{(-1)^{k+1} \cdot 2^{k+1} \cdot(k+1)!}{(2 x+1)^{k+2}}, đ p c m .
\end{aligned}
$$
Vậy, ta được: $\mathrm{y}^{(\mathrm{n})}=\frac{(-1)^{\mathrm{n}} \cdot 2^{\mathrm{n}} \cdot n!}{(2 \mathrm{x}+1)^{\mathrm{n}+1}}$.
Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)
