Tỉ số thể tích khối lăng trụ
Các bạn học sinh lớp 12 thân mến,
Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin giới thiệu đến các em một chủ đề hấp dẫn trong chương trình Toán 12: Tỉ số thể tích khối lăng trụ. Đây là một kiến thức quan trọng, không chỉ giúp các em nâng cao kỹ năng tư duy không gian mà còn rất hữu ích trong việc giải các bài toán phức tạp. Bài viết sẽ cung cấp những công thức cốt lõi, kèm theo các ví dụ minh họa sinh động, giúp các em dễ dàng nắm bắt và vận dụng. Chúng tôi tin rằng sau khi đọc xong, các em sẽ cảm thấy tự tin hơn khi đối mặt với dạng bài tập này trong các kỳ thi sắp tới. Hãy cùng khám phá nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Tỉ số thể tích khối lăng trụ
Dạng 10. Tỉ số thể tích khối lăng trụ
1. Phương pháp
Trong phương pháp này, ta thường hay
sử dụng kết quả của bài toán
Cho hình lăng trụ $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có các diểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ lần lượt thuộc các cạnh
Chứng minh
$\mathrm{AA}^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ sao cho
$\begin{aligned} & \frac{A M}{\mathrm{AA}^{\prime}}=a, \frac{B N}{B B^{\prime}}=b, \frac{C P}{C C^{\prime}}=c \\ & \text { Khi đó } \frac{V_{A B C M N P}}{V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}}=\frac{a+b+c}{3} \\ & \text { Đặc } \\ & \frac{V_{A \cdot M N^{\prime}}}{V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}}=\frac{a}{3}, \frac{V_{M \cdot B C P N}}{V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}}=\frac{b+c}{3}\end{aligned}$
Ta có
$$
\begin{aligned}
& V_{A \cdot B C C^{\prime} B^{\prime}}=V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}-V_{A \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}} \\
& =V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}-\frac{1}{3} V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{2 V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}}{3} \\
& \text { Ta có } \frac{V_{M \cdot A B C}}{V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}}=\frac{\frac{1}{3} d(M ;(A B C)) \cdot S_{A B C}}{d\left(A^{\prime} ;(A B C)\right) \cdot S_{A B C}}
\end{aligned}
$$
Ta có
$$
\begin{aligned}
& A M / /\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right) \Rightarrow d(M ; B C P N)=d(A ; B C P N) \\
& \Rightarrow V_{M \cdot B C P N}=V_{A \cdot B C P N} \\
& \text { Suy ra } \frac{V_{M \cdot B C P N}}{V_{A \cdot B C C^{\prime} B^{\prime}}}=\frac{V_{A \cdot B C P N}}{V_{A \cdot B C C^{\prime} B^{\prime}}}=\frac{S_{B C P N}}{S_{B C C^{\prime} B^{\prime}}} \\
& =\frac{\frac{1}{2}(B N+C P) \cdot d\left(C ; B B^{\prime}\right)}{B B^{\prime} \cdot d\left(C ; B B^{\prime}\right)}=\frac{B N+C P}{2 B B^{\prime}} \\
& =\frac{B N}{2 B B^{\prime}}+\frac{C P}{2 B B^{\prime}}=\frac{B N}{2 B B^{\prime}}+\frac{C P}{2 C C^{\prime}}=\frac{b+c}{2} \\
& \Rightarrow V_{M \cdot B C P N}=\frac{b+c}{2} V_{A \cdot B C C^{\prime} B^{\prime}} \\
& \Rightarrow V_{M \cdot B C P N}=\frac{b+c}{2} \cdot \frac{2 V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}}{3}
\end{aligned}
$$
Tỉ số thể tích khối lăng trụ