Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón
Xin chào các bạn học sinh lớp 12 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin hân hạnh giới thiệu đến các bạn một bài viết hữu ích về chủ đề “Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón”. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp các bạn nắm vững kiến thức hình học không gian.
Bài viết này được thiết kế đặc biệt để hỗ trợ các bạn học tập hiệu quả, với cách trình bày dễ hiểu và nhiều ví dụ minh họa sinh động. Chúng tôi tin rằng thông qua bài viết này, các bạn sẽ khám phá được vẻ đẹp của hình học và cảm thấy hứng thú hơn với môn Toán.
Hãy cùng chúng tôi bước vào thế giới kỳ diệu của hình học không gian nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón
DẠNG 1. Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón
Phương pháp giải.
Thiết diện qua trục của hình trụ luôn là một hình chữ nhật nhận trục $O O^{\prime}$ của hình trụ làm đường trung bình.
Thiết diện qua trục của hình nón đỉnh $S$ luôn là một tam giác cân đỉnh $S$.
Ví dụ 1. Cho hình nón đỉnh $S$ có thiết diện qua trục là một tam giác đều có cạnh bằng 4 . Tính thể tích của khối nón đó.
Lời giải.
Gọi $S A B$ là thiết diện qua trục của hình nón.
Có $S A B$ đều nên $h=S O=\frac{S A \sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3}$
$$
R=O A=\frac{A B}{2}=2 \text {. }
$$
Thể tích của khối nón là
$$
V=\frac{1}{3} \pi R^2 h=\frac{8 \pi \sqrt{3}}{3}
$$
Ví dụ 2. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông. Tính tỉ số $k(k<1)$ của diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ đó.
Lời giải.
Gọi $A B B^{\prime} A^{\prime}$ là thiết diện qua trục của hình trụ.
Do $A B B^{\prime} A^{\prime}$ là hình vuông nên $h=A A^{\prime}=A B=2 R$.
Có
$$
\begin{gathered}
S_{x q}=2 \pi R h=4 \pi R^2 \\
S_{t p}=S_{x q}+2 S_{\text {dáy }}=4 \pi R^2+2 \pi R^2=6 \pi R^2
\end{gathered}
$$
Vậy tỉ số cần tìm là $k=\frac{S_{x q}}{S_{t p}}=\frac{2}{3}$.
Ví dụ 3. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. Tính diện tích của thiết diện đó biết thể tích khối nón là $18 \pi \sqrt{2}$.
Lời giải.
Gọi $S A B$ là thiết diện qua trục của hình nón, gọi $\ell$ là độ dài đường sinh $S A$.
Có $S A B$ vuông cân nên $h=S O=\frac{S A \sqrt{2}}{2}=\frac{\ell \sqrt{2}}{2}$ $R=O A=\frac{A B}{2}=\frac{\ell \sqrt{2}}{2}$.
Thể tích của khối nón là
$$
V=\frac{1}{3} \pi R^2 h=\frac{\pi \ell^3 \sqrt{2}}{12}
$$
Mà $V=18 \pi \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{\pi \ell^3 \sqrt{2}}{12}=18 \pi \sqrt{2} \Leftrightarrow \ell^3=216 \Leftrightarrow \ell=6$.
Vậy diện tích cần tìm của thiết diện là $S_{S A B}=\frac{1}{2} S A^2=\frac{\ell^2}{2}=18$.
Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón
