| |

Thể tích khối trụ, bài toán cực trị khối trụ

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một chủ đề hấp dẫn trong chương trình Toán 12 – Thể tích khối trụ và bài toán cực trị khối trụ. Đây là một phần quan trọng trong hình học không gian, giúp các em phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Qua bài viết này, các em sẽ nắm vững công thức tính thể tích khối trụ, cách nhận diện và giải quyết các dạng toán liên quan. Đặc biệt, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu phương pháp tối ưu hóa thể tích khối trụ trong các tình huống thực tế.
Hãy cùng đội ngũ hdgmvietnam.org đi sâu vào thế giới toán học đầy màu sắc và thú vị này nhé! Chúc các em có một hành trình học tập bổ ích và gặt hái nhiều thành công.

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Trích dẫn nội dung Thể tích khối trụ, bài toán cực trị khối trụ

Dạng 1: Thể tích khối trụ, bài toán cực trị

Bài tập 1: Cắt một khối trụ bởi mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật $A B C D$ có cạnh $A B$ và cạnh $C D$ nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết $B D=a \sqrt{2}, \widehat{D C A}=30^{\circ}$. Tính theo $a$ thể tích khối trụ.
A. $\frac{3 \sqrt{2}}{48} \pi a^3$
B. $\frac{3 \sqrt{2}}{32} \pi a^3$
C. $\frac{3 \sqrt{2}}{16} \pi a^3$
D. $\frac{3 \sqrt{6}}{16} \pi a^3$

Huớng dẫn giảiThể tích khối trụ, bài toán cực trị khối trụ1

Chọn C.
Ta có $A C=B D=a \sqrt{2}$.
Mặt khác xét tam giác $A D C$ vuông tại $D$, ta có
$$
\begin{aligned}
& A D=A C \cdot \sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} a \Rightarrow h=\frac{\sqrt{2}}{2} a \text { và } \\
& C D=A C \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{6}}{2} a \Rightarrow r=\frac{C D}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} a .
\end{aligned}
$$
Nên $V=\pi r^2 h=\pi\left(\frac{\sqrt{6}}{4} a\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} a=\frac{3 \sqrt{2}}{16} \pi a^3$.

Bài tập 2: Cho hình chữ nhật $A B C D$ có $A D=3 A B$. Gọi $V_1$ là thể tích của khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh $A B, V_2$ là thể tích khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh $A D$. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ là.
A. 9
B. 3
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{9}$

Hướng dẫn giải

Chọn B.
Khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật $A B C D$ quay xung quanh cạnh $A B$ có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là $r_1=A D=3 A B ; h_1=A B$.
Khi đó, thể tích của khối trụ này là $V_1=\pi r_1^2 h_1=9 \pi A B^3$.
Khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật $A B C D$ quay xung quanh cạnh $A D$ có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là $r_2=A B ; h_2=A D=3 A B$.
Khi đó, thể tích của khối trụ này là $V_2=\pi r_2^2 h_2=3 \pi A B^3$.
Vậy $\frac{V_1}{V_2}=\frac{9 \pi A B^3}{3 \pi A B^3}=3$.

Bài tập 3: Cho hình thang $A B C D$ vuông tại $A v a ̀ ~ B$ với $A B=B C=\frac{A D}{2} a$. Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh $B C$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo thành là
A. $V=\frac{4 \pi a^3}{3}$
B. $V=\frac{5 \pi a^3}{3}$
C. $V=\pi a^3$
D. $V=\frac{7 \pi a^3}{3}$

Hướng dẫn giảiThể tích khối trụ, bài toán cực trị khối trụ2

Chọn B.
Thể tích $V=V_1-V_2$. Trong đó $V_1$ là thể tích khối trụ có bán kính đáy là $B A=a$ và chiều cao $A D=2 a ; V_2$ là thể tích khối nón có bán kính đáy là $B^{\prime} D=a$ và chiều cao $C B^{\prime}=a$
Khi đó $V=V_1-V_2=\pi a^2 \cdot 2 a-\frac{1}{3} \pi a^2 \cdot a=\frac{5 \pi a^3}{3}$.

Thể tích khối trụ, bài toán cực trị khối trụ

Tải tài liệu

5/5 - (1 vote)

Similar Posts

Để Lại Bình Luận

Địa chỉ email của bạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *