Thể tích khối trụ, bài toán cực trị khối trụ
Chào các em học sinh lớp 12 thân mến!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một chủ đề hấp dẫn trong chương trình Toán 12 – Thể tích khối trụ và bài toán cực trị khối trụ. Đây là một phần quan trọng trong hình học không gian, giúp các em phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Qua bài viết này, các em sẽ nắm vững công thức tính thể tích khối trụ, cách nhận diện và giải quyết các dạng toán liên quan. Đặc biệt, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu phương pháp tối ưu hóa thể tích khối trụ trong các tình huống thực tế.
Hãy cùng đội ngũ hdgmvietnam.org đi sâu vào thế giới toán học đầy màu sắc và thú vị này nhé! Chúc các em có một hành trình học tập bổ ích và gặt hái nhiều thành công.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Thể tích khối trụ, bài toán cực trị khối trụ
Dạng 1: Thể tích khối trụ, bài toán cực trị
Bài tập 1: Cắt một khối trụ bởi mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật $A B C D$ có cạnh $A B$ và cạnh $C D$ nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết $B D=a \sqrt{2}, \widehat{D C A}=30^{\circ}$. Tính theo $a$ thể tích khối trụ.
A. $\frac{3 \sqrt{2}}{48} \pi a^3$
B. $\frac{3 \sqrt{2}}{32} \pi a^3$
C. $\frac{3 \sqrt{2}}{16} \pi a^3$
D. $\frac{3 \sqrt{6}}{16} \pi a^3$
Huớng dẫn giải
Chọn C.
Ta có $A C=B D=a \sqrt{2}$.
Mặt khác xét tam giác $A D C$ vuông tại $D$, ta có
$$
\begin{aligned}
& A D=A C \cdot \sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} a \Rightarrow h=\frac{\sqrt{2}}{2} a \text { và } \\
& C D=A C \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{6}}{2} a \Rightarrow r=\frac{C D}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} a .
\end{aligned}
$$
Nên $V=\pi r^2 h=\pi\left(\frac{\sqrt{6}}{4} a\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} a=\frac{3 \sqrt{2}}{16} \pi a^3$.
Bài tập 2: Cho hình chữ nhật $A B C D$ có $A D=3 A B$. Gọi $V_1$ là thể tích của khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh $A B, V_2$ là thể tích khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh $A D$. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ là.
A. 9
B. 3
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{9}$
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật $A B C D$ quay xung quanh cạnh $A B$ có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là $r_1=A D=3 A B ; h_1=A B$.
Khi đó, thể tích của khối trụ này là $V_1=\pi r_1^2 h_1=9 \pi A B^3$.
Khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật $A B C D$ quay xung quanh cạnh $A D$ có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là $r_2=A B ; h_2=A D=3 A B$.
Khi đó, thể tích của khối trụ này là $V_2=\pi r_2^2 h_2=3 \pi A B^3$.
Vậy $\frac{V_1}{V_2}=\frac{9 \pi A B^3}{3 \pi A B^3}=3$.
Bài tập 3: Cho hình thang $A B C D$ vuông tại $A v a ̀ ~ B$ với $A B=B C=\frac{A D}{2} a$. Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh $B C$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo thành là
A. $V=\frac{4 \pi a^3}{3}$
B. $V=\frac{5 \pi a^3}{3}$
C. $V=\pi a^3$
D. $V=\frac{7 \pi a^3}{3}$
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Thể tích $V=V_1-V_2$. Trong đó $V_1$ là thể tích khối trụ có bán kính đáy là $B A=a$ và chiều cao $A D=2 a ; V_2$ là thể tích khối nón có bán kính đáy là $B^{\prime} D=a$ và chiều cao $C B^{\prime}=a$
Khi đó $V=V_1-V_2=\pi a^2 \cdot 2 a-\frac{1}{3} \pi a^2 \cdot a=\frac{5 \pi a^3}{3}$.
Thể tích khối trụ, bài toán cực trị khối trụ