Thể tích khối chóp tam giác
Chào mừng các em học sinh lớp 12 đến với bài viết “Thể tích khối chóp tam giác” của đội ngũ hdgmvietnam.org. Chúng tôi hy vọng rằng, thông qua bài viết này, các em sẽ nắm vững kiến thức về cách tính thể tích của một khối chóp tam giác. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp các em vận dụng linh hoạt vào các bài toán hình học không gian. Hãy cùng chúng tôi khám phá cách tính thể tích khối chóp tam giác một cách đơn giản và hiệu quả nhất nhé. Chúc các em học tập thật tốt và luôn đạt kết quả cao trong môn Toán!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Thể tích khối chóp tam giác
DẠNG 1. Thể tích khối chóp tam giác
Phương pháp giải. Công thức tính thể tích của khối chóp: $V=\frac{1}{3} \cdot B \cdot h$.
Ví dụ 1. Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh 3. Cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A=2 \sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C$.
Lời giải.
Thể tích khối chóp $S . A B C$ là $V_{S . A B C}=\frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S A$.
Mà $S_{A B C}=\frac{9 \sqrt{3}}{4}$. Vậy
$$
V_{S . A B C}=\frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S A=\frac{1}{3} \cdot \frac{9 \sqrt{3}}{4} \cdot 2 \sqrt{3}=\frac{9}{2}
$$
Ví dụ 2. Cho hình chóp đều $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$. các cạnh bên bằng nhau và bằng $2 a$. Tính thể tích khối chóp trên.
Lời giải.
Gọi $O$ là tâm của tam giác $A B C$.
Thể tích khối chóp $S . A B C$ là $V_{S . A B C}=\frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S O$.
Mà $S_{A B C}=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Xét tam giác $A B C$ có $A I=\frac{a \sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow A O=\frac{2}{3} A I=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Xét tam giác $S O A$ vuông tại $O$ có $S A^2=A O^2+S O^2$
$\Rightarrow S O=\sqrt{S A^2-A O^2}=\frac{a \sqrt{33}}{3}$.
Vầy $V_{S . A B C}=\frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S O=\frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{33}}{3}=\frac{a^3 \sqrt{11}}{12}$.
Ví dụ 3. Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ và $A B=a, A C=a \sqrt{3}$. Mặt bên $S A B$ là tam giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh bên $S C$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^{\circ}$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp trên.
Lời giải.
Dựng $S I \perp B C \Rightarrow S I \perp(A B C)$.
Thể tích khối chóp $S . A B C$ là $V=\frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S I$.
Ta có $S_{A B C}=\frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C=\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}$.
Vì $S I \perp(A B C)$ nên $I$ là hình chiếu của $S$ trên $(A B C)$.
Vậy $(S C,(A B C))=(S C, I C)=\widehat{S C I}=60^{\circ}$.
Ta có $C I=\sqrt{A C^2+A I^2}=\frac{a \sqrt{13}}{2}$
$\Rightarrow S I=C I \cdot \tan 60^{\circ}=\frac{a \sqrt{39}}{2}$.
Vậy thể tích của khối chóp là
$$
V=\frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a \sqrt{39}}{2}=\frac{a^3 \sqrt{13}}{4}
$$
Thể tích khối chóp tam giác
