Thể tích khối chóp đều

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ giáo viên nhiệt huyết của hdgmvietnam.org xin được mang đến cho các em một bài học vô cùng thú vị và bổ ích trong chương trình Toán 12 – Thể tích khối chóp đều. Với lối giảng dạy sinh động, dễ hiểu cùng những ví dụ minh họa trực quan, chúng tôi tin rằng các em sẽ nhanh chóng nắm vững kiến thức và áp dụng thành thạo vào các bài tập. Hãy cùng chúng tôi khám phá thế giới hình học kỳ diệu và chinh phục mọi thử thách trong kỳ thi sắp tới nhé. Chúc các em học tập hiệu quả và đạt kết quả cao!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Thể tích khối chóp đều

Dạng 3. Thể tích khối chóp đều
1. Phương pháp
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Trong hình chóp đều:
+) Đáy là một đa giác đều
+) Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy.
+) Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau .
Đường cao vẽ từ đỉnh của một mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp đều.
+) Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau
+) Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau.

Chú ý:
+) Phân biệt hình chóp tam giác đều khác với hình chóp có đáy là tam giác đều. Hình chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Nói một cách khác, hình chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều nhung điều ngược lại không đúng.
+) Hình chóp tứ giác đều là hình chóp đều có đáy là hình vuông.

2. Bài tập
Bài tập 1. Cho khối chóp tam giác đều $S . A B C$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $2 a$. Thể tích của khối chóp $S . A B C$ là
A. $V=\frac{\sqrt{11} a^3}{12}$
B. $V=\frac{\sqrt{13} a^3}{12}$
C. $V=\frac{\sqrt{11} a^3}{6}$
D. $V=\frac{\sqrt{11} a^3}{4}$

Hướng dẫn giải
Chọn A.
$S . A B C$ là hình chóp tam giác đều và $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Khi đó $S G \perp(A B C)$ . Do đáy là tam giác đều nên gọi $I$ là trung điểm cạnh $B C$, khi đó $A I$ là đường cao của tam giác đáy.
Theo định lý Pi-ta-go ta có $A I=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a \sqrt{3}}{2}$, và $A G=\frac{2}{3} A I=\frac{2 a \sqrt{3}}{3.2}=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Trong tam giác $S G A$ vuông tại $G$ ta có $S G=\sqrt{4 a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{11} a}{\sqrt{3}}$.
Vậy $V=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{11} a}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{11} a^3}{12}$

Bài tập 2. Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^{\circ}$. Thể tích khối chóp $S \cdot A B C$ là
A. $V=\frac{a^3 \sqrt{3}}{4}$
B. $V=\frac{a^3 \sqrt{3}}{12}$
C. $V=\frac{a^3 \cdot \sqrt{5}}{12}$
D. $V=\frac{a^3 \cdot \sqrt{3}}{10}$

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có $S_{A B C}=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
$S . A B C$ là hình chóp tam giác đều và $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Khi đó $S G \perp(A B C)$.
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ nên $A G=\frac{2}{3} A M=\frac{a \sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác $S A G$ vuông tại $G$ có
$$
S G=A G \cdot \tan 60^{\circ}=a
$$
Vậy $V_{S \cdot A B C}=\frac{1}{3} S G \cdot S_{A B C}=\frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{a^3 \sqrt{3}}{12}$.

Bài tập 3. Cho hình chóp tứ giác đều $S \cdot A B C D$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^{\circ}$. Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ là
A. $V=\frac{a^3 \sqrt{6}}{2}$
B. $V=\frac{a^3 \sqrt{6}}{3}$
C. $V=\frac{a^3 \sqrt{3}}{2}$
D. $V=\frac{a^3 \sqrt{6}}{6}$

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có $S_{A B C D}=a^2$.
Gọi $O=A C \cap B D$.
Do $S . A B C D$ là hình chóp đều nên $S O \perp(A B C D)$.
Ta có $\overline{(S B,(A B C D))}=\overline{(S B, O B)}=\widehat{S B O}$.
Tam giác $S O B$ vuông tại $O$, có
$S O=O B \cdot \tan \widehat{S B O}=\frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \tan 60^{\circ}=\frac{a \sqrt{6}}{2}$.
Vậy $V_{S . A B C D}=\frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O=\frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a \sqrt{6}}{2}=\frac{a^3 \sqrt{6}}{6}$.