Sử dụng tính chất của số nCk để chứng minh đẳng thức và tính tổng
Các bạn học sinh lớp 11 thân mến,
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một chủ đề thú vị trong chương trình Toán 11: “Sử dụng tính chất của số nCk để chứng minh đẳng thức và tính tổng”. Đây là một kỹ năng quan trọng, giúp các bạn không chỉ giải quyết được nhiều bài toán phức tạp mà còn phát triển tư duy logic và khả năng phân tích. Qua bài viết này, các bạn sẽ được hướng dẫn cách vận dụng các tính chất đặc biệt của số tổ hợp nCk để chứng minh các đẳng thức toán học và tính tổng một cách hiệu quả. Hãy cùng bắt đầu cuộc phiêu lưu toán học thú vị này nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Sử dụng tính chất của số nCk để chứng minh đẳng thức và tính tổng
Dạng 8. Sử dụng tính chất của số $\mathrm{C}_n^k$ để chứng minh đẳng thức và tính tổng.
Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất của số $\mathrm{C}_n^k$.
Cho các số nguyên dương $n, k$ thỏa mãn: $1 \leq k \leq n$. Khi đó ta có các tính chất sau
– Tính chất $1 . \mathrm{C}_n^k=\mathrm{C}_n^{n-k}$.
– Tính chất 2. $\mathrm{C}_n^k=\mathrm{C}_{n-1}^k+\mathrm{C}_{n-1}^{k-1}$.
– Tính chất $3 . k \mathrm{C}_n^k=n \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}$.
– Tính chất $4 \cdot \frac{1}{k+1} \mathrm{C}_n^k=\frac{1}{n+1} \mathrm{C}_{n+1}^{k+1}$.
Một số kết quả hay sử dụng khi chứng minh đẳng thức, tính tổng có sử dụng công thức nhị thức Newton:
– Kết quả 1. $\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1+\mathrm{C}_n^2+\ldots+\mathrm{C}_n^n=2^n$.
– Kết quả 2. $\mathrm{C}_n^0-\mathrm{C}_n^1+\mathrm{C}_n^2+\ldots+(-1)^n \mathrm{C}_n^n=0$.
– Kết quả 3. $\mathrm{C}_{2 n}^0+\mathrm{C}_{2 n}^2+\mathrm{C}_{2 n}^4+\ldots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n}=2^{2 n-1}$.
– Kết quả 4. $\mathrm{C}_{2 n}^1+\mathrm{C}_{2 n}^3+\mathrm{C}_{2 n}^5+\ldots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n-1}=2^{2 n-1}$.
Bài toán 1. Sử dụng tính chất $k \mathrm{C}_n^k=n \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}$ trong một số bài toán nhị thức Newton.
Dấu hiệu nhận biêt: Các hệ số đứng trước các số tổ hợp có dạng:
– Tăng dần từ 1 đến $n$ hoặc giảm dần từ $n$ về 1 . Tức là các hệ số của khai triển có dạng $k \mathrm{C}_n^k$.
– Là tích của hai số tự nhiên liên tiếp: $1.2,2.3,3.4, \ldots,(n-1)$. $n$. Tức là các hệ số có dạng $k(k-1) \mathrm{C}_n^k$.
– Hoặc các hệ số có thể biến đổi để dưa về các dạng trên.
Các bước thực hiện: Áp dụng một lần hoặc nhiều lần đẳng thức $k \mathrm{C}_n^k=n \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}$ để đưa tổng cần tính hoăc môt vế của đẳng thức về dang đơn giản hơn.