Sử dụng công thức tính xác suất của một biến cố
Các em học sinh lớp 11 thân mến,
Chào mừng các em đến với bài viết “Sử dụng công thức tính xác suất của một biến cố” do đội ngũ giáo viên tại hdgmvietnam.org tổng hợp và biên soạn. Chúng tôi hiểu rằng Xác suất là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, đồng thời cũng là nền tảng cho nhiều môn học và ứng dụng thực tiễn. Vì vậy, chúng tôi mong muốn cung cấp cho các em những kiến thức bổ ích, dễ hiểu về cách sử dụng công thức tính xác suất hiệu quả. Bài viết này sẽ giúp các em nắm vững lý thuyết, cũng như rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán Xác suất một cách tự tin và thành thạo. Hãy cùng khám phá và chinh phục Xác suất nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Sử dụng công thức tính xác suất của một biến cố
Dạng 1. Sử dụng công thức tính xác suất của một biến cố
$$
\mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)} \text {. }
$$
BÀI TẬP DẠNG 1
Ví dụ 1. Gieo một con súc sắc 3 lần. Tính xác suất của biến cố sau:
a) $A$ : ” 3 lần gieo cho kết quả như nhau”.
b) $B$ : “Tích 3 lần gieo là số lẻ”.
c) $C$ : “Tổng 3 lần gieo là 5 “.
d) $D$ : “Lần gieo sau gieo được số lớn hơn lần gieo trước”.
Lời giải.
Gieo súc sắc 3 lần sẽ có $n(\Omega)=6 \cdot 6 \cdot 6=216$ cách có thể xảy ra. Ta gọi kết quả 3 lần gieo lần lượt theo dãy số $(x ; y ; z)$.
a) Có $A=\{(1 ; 1 ; 1),(2 ; 2 ; 2),(3 ; 3 ; 3),(4 ; 4 ; 4),(5 ; 5 ; 5),(6 ; 6 ; 6)\}$.
Do đó $n(A)=6 \Rightarrow \mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{1}{36}$.
b) Để có biến cố $B$ thì 3 lần gieo chỉ gieo được trong các số $1,3,5$. Từ đó
Lần 1: 3 cách.
Lần 2: 3 cách.
Lần 3: 3 cách.
$$
\Rightarrow n(B)=3.3 .3=27 \Rightarrow \mathrm{P}(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{27}{216} \text {. }
$$
c) $C=\{(1 ; 1 ; 3),(1 ; 2 ; 2),(1 ; 3 ; 1), ;(2 ; 1 ; 2),(2 ; 2 ; 1),(3 ; 1 ; 1)\}$.
Do đó $n(C)=6 \Rightarrow \mathrm{P}(C)=\frac{n(C)}{n(\Omega)}=\frac{1}{36}$.
d) Kết quả thuận lợi của $D$ là việc chọn ra 3 giá trị khác nhau trong 3 lần gieo và sắp xếp từ bé đến lớn tức là số kết quả bằng số việc chọn 3 phần tử trong 6 phần tử, vậy
$$
n(D)=C_6^3=20 \Rightarrow \mathrm{P}(C)=\frac{n(C)}{n(\Omega)}=\frac{5}{54} \text {. }
$$
Ví dụ 2. Trong một hộp kín có 18 quả bóng khác nhau: 9 trắng, 6 đen, 3 vàng.Lấy ngẫu nhiên đồng thời 5 quả bóng trong đó. Tính xác suất của:
a) $A$ : “5 quả bóng cùng màu”.
b) $B$ : ” 5 quả bóng có đủ 3 màu”
c) $C$ : “5 quả bóng không có màu trắng”
Lời giải.
Lấy ngẫu nhiên 5 bóng đồng thời trong hộp kín đo đó $n(\Omega)=C_{18}^5=8568$ cách.
a) TH1: 5 quả bóng đồng màu trắng: $C_9^5=126$ cách lấy.
TH2 : 5 quả bóng đồng màu đen: $C_6^5=6$ cách lấy.
Từ đó $n(A)=126+6=132 \Rightarrow \mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{11}{714}$.
b) TH1: 1 trắng, 1 đen, 3 vàng: 9.6.C. $C_3^3=54$ cách.
TH2 : 1 trắng, 2 đen, 2 vàng: $9 \cdot C_6^2 \cdot C_3^2=405$ cách.
TH3: 2 trắng, 1 đen, 2 vàng: $C_9^2 \cdot 6 \cdot C_3^2=648$ cách.
TH4 : 2 trắng, 2 đen, 1 vàng: $C_9^2 \cdot C_6^2 \cdot 3=1620$ cách.
TH5 : 3 trắng, 1 đen, 1 vàng: $C_9^3 \cdot 6 \cdot 3=1512$ cách.
Từ đó $n(B)=4239 \Rightarrow \mathrm{P}(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{471}{952}$.
c) 5 quả bóng lấy trong 9 quả đen vàng do đó $n(B)=C_9^5=126 \Rightarrow \mathrm{P}(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{1}{68}$.
Ví dụ 3. Trong lớp $12 A 5$ có 45 học sinh có 20 học sinh nam, 25 học sinh nữ. Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh, Xác định xác suất của biến cố:
a) 5 học sinh lấy ra là nam.
b) 5 học sinh lấy ra có đủ nam và nữ.
c) Có ít nhất 3 học sinh nữ.
Lời giải.
Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh trong 45 học sinh, vậy số ké́t quả có thể xảy ra là: $n(\Omega)=C_{45}^5=1221759$.
a) Lấy 5 nam trong 20 nam
$$
\Rightarrow n(A)=C_{20}^5=15504 \Rightarrow \mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{1699}{133886} \text {. }
$$
b) Gọi $B$ : ” 5 học sinh lấy ra có đủ nam và nữ”.
Để đếm $n(B)$ ta phân làm các trường hợp.
TH1: 1 nam, 4 nữ: $C_{20}^1 \cdot C_{25}^4=253000$
TH2: 2 nam, 3 nữ: $C_{20}^2 \cdot C_{25}^3=437000$
TH3: 3 nam, 2 nữ: $C_{20}^3 \cdot C_{25}^2=342000$
TH4: 4 nam, 1 nữ: $C_{20}^4 \cdot C_{25}^1=121125$
Từ đó
$$
n(B)=1153125 \Rightarrow \mathrm{P}(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{3125}{3311} \text {. }
$$
c) Gọi $C$ : “5 học sinh lấy ra ít nhất là 3 nữ”.
Để đếm $n(C)$ ta phân làm các trường hợp sau:
TH1: 3 nữ, 2 nam: $C_{25}^3 \cdot C_{20}^2=437000$
TH2: 4 nữ, 1 nam: $C_{25}^4 \cdot C_{20}^1=253000$
TH3: 5 nữ: $C_{25}^5=53130$
$$
\Rightarrow n(C)=743130 \Rightarrow \mathrm{P}=\frac{n(C)}{n(\Omega)}=\frac{82570}{135751} \text {. }
$$
Sử dụng công thức tính xác suất của một biến cố
