Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Chào các em học sinh lớp 10 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một công cụ toán học vô cùng hữu ích và thú vị – bất đẳng thức Cauchy (hay còn gọi là bất đẳng thức Côsi). Đây là một trong những bất đẳng thức quan trọng nhất mà các em sẽ học trong chương trình Toán 10. Thông qua bài viết “Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất”, chúng mình sẽ hướng dẫn các em cách áp dụng bất đẳng thức này một cách hiệu quả và sáng tạo. Hãy cùng khám phá sức mạnh của Cauchy và làm quen với những ứng dụng thú vị của nó trong toán học nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Dạng toán 2: sử dụng bất đẳng thức cauchy(côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
1. Phương pháp giải.
Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi:
* Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm
* $\mathrm{BET}$ côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
* Điều kiện xảy ra dấu ‘ $=$ ‘ là các số bằng nhau
* Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng
Đối với hai số: $x^2+y^2 \geq 2 x y ; \quad x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2} ; \quad x y \leq\left(\frac{x+y}{2}\right)^2$.
Đối với ba số: $a b c \leq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}, a b c \leq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi
Ví dụ 1: Cho $a, b$ là số dương thỏa mãn $a^2+b^2=2$. Chứng minh rằng
a) $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right) \geq 4$
b) $(a+b)^5 \geq 16 a b \sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}$
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
$$
\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}=2, \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b^2} \cdot \frac{b}{a^2}}=\frac{2}{\sqrt{a b}}
$$
Suy ra $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right) \geq \frac{4}{\sqrt{a b}}$
Mặt khác ta có $2=a^2+b^2 \geq 2 \sqrt{a^2 b^2}=2 a b \Rightarrow a b \leq 1$
Từ (1) và (2) suy ra $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right) \geq 4$ ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1$.
b) Ta có $(a+b)^5=\left(a^2+2 a b+b^2\right)\left(a^3+3 a b^2+3 a^2 b+b^3\right)$
Áp dụng BĐT côsi ta có
$$
\begin{aligned}
& a^2+2 a b+b^2 \geq 2 \sqrt{2 a b\left(a^2+b^2\right)}=4 \sqrt{a b} và \\
& \left(a^3+3 a b^2\right)+\left(3 a^2 b+b^3\right) \geq 2 \sqrt{\left(a^3+3 a b^2\right)\left(3 a^2 b+b^3\right)}=4 \sqrt{a b\left(1+b^2\right)\left(a^2+1\right)}
\end{aligned}
$$
Suy ra $\left(a^2+2 a b+b^2\right)\left(a^3+3 a b^2+3 a^2 b+b^3\right) \geq 16 a b \sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}$
Do đó $(a+b)^5 \geq 16 a b \sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}$ ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1$.
Ví dụ 2: Cho $a, b, c$ là số dương. Chứng minh rằng
a) $\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right) \geq 8$
b) $a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right) \geq 6 a b c$
c) $(1+a)(1+b)(1+c) \geq(1+\sqrt[3]{a b c})^3$
d) $a^2 \sqrt{b c}+b^2 \sqrt{a c}+c^2 \sqrt{a b} \leq a^3+b^3+c^3$
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
$$
a+\frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b}}, b+\frac{1}{c} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{c}}, c+\frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{c}{a}}
$$
Suy ra $\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right) \geq 8 \sqrt{\frac{a}{b}} \sqrt{\frac{b}{c}} \cdot \sqrt{\frac{c}{a}}=8$ ĐРСМ.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
$1+a^2 \geq 2 \sqrt{a^2}=2 a$, tương tự ta có $1+b^2 \geq 2 b, 1+c^2 \geq 2 c$
Suy ra $a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right) \geq 2\left(a^2 b+b^2 c+c^2 a\right)$
Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
$$
a^2 b+b^2 c+c^2 a \geq 3 \sqrt{a^2 b \cdot b^2 c \cdot c^2 a}=3 a b c
$$
Suy ra $a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right) \geq 6 a b c$. ÐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
c) Ta có $(1+a)(1+b)(1+c)=1+(a b+b c+c a)+(a+b+c)+a b c$
Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
$$
a b+b c+c a \geq 3 \sqrt[3]{a b . b c . c a}=3(\sqrt[3]{a b c})^2 và a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{a b c}
$$
Suy ra $(1+a)(1+b)(1+c) \geq 1+3(\sqrt[3]{a b c})^2+3 \sqrt[3]{a b c}+a b c=(1+\sqrt[3]{a b c})^3$ ĐРСМ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
$$
a^2 \sqrt{b c} \leq a^2\left(\frac{b+c}{2}\right), b^2 \sqrt{a c} \leq b^2\left(\frac{a+c}{2}\right), c^2 \sqrt{a b} \leq c^2\left(\frac{a+b}{2}\right)
$$
Suy ra $a^2 \sqrt{b c}+b^2 \sqrt{a c}+c^2 \sqrt{a b} \leq \frac{a^2 b+b^2 a+a^2 c+c^2 a+b^2 c+c^2 b}{2}$
Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có
$$
\begin{aligned}
& a^2 b \leq \frac{a^3+a^3+b^3}{3}, b^2 a \leq \frac{b^3+b^3+a^3}{3}, a^2 c \leq \frac{a^3+a^3+c^3}{3}, \\
& c^2 a \leq \frac{c^3+c^3+a^3}{3}, b^2 c \leq \frac{b^3+b^3+c^3}{3}, c^2 b \leq \frac{c^3+c^3+b^3}{3}
\end{aligned}
$$
Suy ra $a^2 b+b^2 a+a^2 c+c^2 a+b^2 c+c^2 b \leq 2\left(a^3+b^3+c^3\right)$
Từ (1) và (2) suy ra $a^2 \sqrt{b c}+b^2 \sqrt{a c}+c^2 \sqrt{a b} \leq a^3+b^3+c^3$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
