Sự đồng phẳng của ba vec-tơ, bốn điểm đồng phẳng

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho các em một chủ đề hấp dẫn trong chương trình Toán 12: Sự đồng phẳng của ba vec-tơ và bốn điểm đồng phẳng. Đây là một kiến thức quan trọng, không chỉ giúp các em hiểu sâu hơn về không gian và mặt phẳng, mà còn là nền tảng vững chắc cho việc giải quyết nhiều bài toán thực tế. Qua bài viết này, chúng mình sẽ cùng nhau khám phá những khái niệm cơ bản, tìm hiểu các định lý và ứng dụng liên quan, đồng thời luyện tập qua một số ví dụ minh họa sinh động. Hãy cùng hdgmvietnam.org đồng hành trên con đường chinh phục tri thức Toán học nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Sự đồng phẳng của ba vec-tơ, bốn điểm đồng phẳng

DẠNG 1. Sự đồng phẳng của ba vec-tơ, bốn điểm đồng phẳng
Phương pháp giải.
Trong không gian $O x y z$, cho ba vec-tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều khác vec-tơ $\overrightarrow{0}$.
– Ba vec-tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi $[\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c}=0$.
– Ngược lại, ba vec-tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng khi và chỉ khi $[\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c} \neq 0$.
Trong không gian $O x y z$, cho bốn điểm $A, B, C, D$ phân biệt.
– Bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng khi và chỉ khi các vec-tơ $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}$ đồng phẳng hay $[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}=0$.
– Ngược lại, bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng khi và chỉ khi các vec-tơ $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$, $\overrightarrow{A D}$ không đồng phẳng hay $[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D} \neq 0$.

Ví dụ 1. Trong hệ tọa độ $O x y z$, xét sự đồng phẳng của các vec-tơ sau:
(1) $\vec{a}=(1 ;-1 ; 1), \vec{b}=(0 ; 1 ; 2)$ và $\vec{c}=(4 ; 2 ; 3)$.
(2) $\vec{u}=(4 ; 3 ; 4), \vec{v}=(2 ;-1 ; 2)$ và $\vec{w}=(1 ; 2 ; 1)$.

Lời giải.
(1) Ta có: $[\vec{a}, \vec{b}]=(-3 ;-2 ; 1)$.
Vì $[\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c}=-3 \cdot 4-2 \cdot 2+1 \cdot 3=-13 \neq 0$ nên ba vec-tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng.
(2) Ta có: $[\vec{u}, \vec{v}]=(10 ; 0 ;-10)$.
Vì $[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w}=10 \cdot 1+0 \cdot 2-10 \cdot 1=0$ nên ba vec-tơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ đồng phẳng.

Ví dụ 2. Trong không gian $O x y z$, xét sự đồng phẳng của các điểm sau đây:
(1) $A(-4 ; 4 ; 0), B(2 ; 0 ; 4), C(1 ; 2 ;-1)$ và $D(7 ;-2 ; 3)$.
(2) $M(6 ;-2 ; 3), N(0 ; 1 ; 6), P(2 ; 0 ;-1)$ và $Q(4 ; 1 ; 0)$.

Lời giải.
(1) Ta có: $\overrightarrow{A B}=(6 ;-4 ; 4) ; \overrightarrow{A C}=(5 ;-2 ;-1)$ và $\overrightarrow{A D}=(11 ;-6 ; 3)$.
Khi đó: $[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=(12 ; 26 ; 8)$.
Vì $[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}=12 \cdot 5+26 \cdot(-2)+8 \cdot(-1)=0$ nên các vec-tơ $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}$ đồng phẳng hay bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng.

(2) Ta có: $\overrightarrow{M N}=(-6 ; 3 ; 3) ; \overrightarrow{M P}=(-4 ; 2 ;-4)$ và $\overrightarrow{M Q}=(-2 ; 3 ;-3)$.
Khi đó: $[\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M P}]=(-18 ;-36 ; 0)$.
Vì $[\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M P}] \cdot \overrightarrow{M Q}=-18 \cdot(-2)+(-36) \cdot 3+0 \cdot(-3)=-72 \neq 0$ nên các vec-tơ $\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M P}$, $\overrightarrow{M Q}$ không đồng phẳng hay bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ $(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, cho các điểm $A(1 ;-4 ; 5), B(2 ; 1 ; 0)$ và hai vec-tơ $\overrightarrow{O C}=\vec{k}-\vec{j}-2 \vec{i}, \overrightarrow{D O}=3 \vec{i}+2 \vec{k}$. Chứng minh rằng $A B C D$ là một tứ diện.

Lời giải.
Ta có: $A(1 ;-4 ; 5), B(2 ; 1 ; 0), C(-2 ;-1 ; 1)$ và $D(-3 ; 0 ;-2)$.
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A B}=(1 ; 5 ;-5) \\
& \overrightarrow{A C}=(-3 ; 3 ;-4) \\
& \overrightarrow{A D}=(-4 ; 4 ;-7) .
\end{aligned}
$$
Lại có $[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=(-5 ; 19 ; 18)$.
Vì $[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}=-5 \cdot(-4)+19 \cdot 4+18 \cdot(-7)=-30 \neq 0$ nên $A, B, C, D$ không đồng phẳng hay $A B C D$ là một tứ diện.