Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

I. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$ (K có thể là khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn).

• • Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$, $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) \leqslant f(x_2)$.

• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$, $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) \geqslant f(x_2)$.

Ngoài ra, ta còn có định nghĩa về hàm số tăng/giảm ngặt:

• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là tăng ngặt trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$, $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) < f(x_2)$.
• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là giảm ngặt trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$, $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$.

II. Điều kiện đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$.

1. Điều kiện cần

• Nếu hàm số đồng biến trên $K$ thì $f'(x) \geqslant 0, \forall x \in K$.
• Nếu hàm số nghịch biến trên $K$ thì $f'(x) \leqslant 0, \forall x \in K$.

2. Điều kiện đủ

• Nếu $f'(x) > 0, \forall x \in K$ thì hàm số đồng biến (tăng) ngặt trên $K$.
• Nếu $f'(x) < 0, \forall x \in K$ thì hàm số nghịch biến (giảm) ngặt trên $K$.
• Nếu $f'(x) = 0, \forall x \in K$ thì hàm số không đổi trên $K$.

Định lý mở rộng:

• Nếu $f'(x) \geqslant 0, \forall x \in K$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc $K$ thì hàm số đồng biến trên $K$.
• Nếu $f'(x) \leqslant 0, \forall x \in K$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc $K$ thì hàm số nghịch biến trên $K$.

III. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $f(x)$.
2. Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm các điểm $x_i$ ($i = 1, 2, …, n$) mà tại đó $f'(x) = 0$ hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm $x_i$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của $f'(x)$.
4. Dựa vào bảng biến thiên, kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $f(x)$.

IV. Các tính chất của hàm số đơn điệu

• Nếu hàm số $f(x)$ và $g(x)$ đồng biến trên khoảng $K$ thì $f(x) + g(x)$ cũng đồng biến trên $K$.
• Nếu hàm số $f(x)$ và $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $K$ thì $f(x) + g(x)$ cũng nghịch biến trên $K$.
• Nếu hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $K$ thì $-f(x)$ nghịch biến trên $K$.
• Nếu hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $K$ thì $-f(x)$ đồng biến trên $K$.
• Nếu hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $K$ thì $\dfrac{1}{f(x)}$ nghịch biến trên $K$.
• Nếu hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $K$ thì $\dfrac{1}{f(x)}$ đồng biến trên $K$.
• Nếu hàm số $f(x)$ và $g(x)$ đồng biến trên khoảng $K$ và $f(x), g(x) \geqslant 0$ trên $K$ thì $f(x)g(x)$ cũng đồng biến trên $K$.
• Nếu hàm số $f(x)$ và $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $K$ và $f(x), g(x) \geqslant 0$ trên $K$ thì $f(x)g(x)$ cũng nghịch biến trên $K$.

V. Ứng dụng của sự đồng biến, nghịch biến

• Vẽ đồ thị hàm số 
• Giải bài toán tối ưu 
• Chứng minh bất đẳng thức

VI. Các dạng toán cơ bản và bài tập minh họa cho từng dạng (có lời giải)

Dạng 1: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Áp dụng quy tắc xét tính đơn điệu để tìm các khoảng mà hàm số đồng biến hoặc nghịch biến.

Bài tập 1: Cho hàm số $y=x^3-3x^2-9x+5$. Xác định các khoảng mà hàm số đồng biến và nghịch biến.

Lời giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

$\begin{aligned}
y’ &= 3x^2-6x-9 \\
&= 3(x^2-2x-3) \\
&= 3(x-3)(x+1)
\end{aligned}$

$y’=0 \Leftrightarrow x_1=-1, x_2=3$

Bảng biến thiên:

$$
\begin{array}{c|ccc} \hline
x & -\infty & -1 & 3 & +\infty \\
\hline
y’ & – & 0 & + & 0 & – \\
\hline
y & \searrow & -7 & \nearrow & -31 & \searrow
\end{array}
$$

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;3)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty)$.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$. Xác định các khoảng mà hàm số đồng biến và nghịch biến.

Lời giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash{1}$.
$\begin{aligned}
y’
&= \frac{(2x-4)(x-1)-(x^2-4x+3)}{(x-1)^2} \\
&= \frac{-1}{(x-1)^2}<0, \forall x \in D
\end{aligned}$
Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.

Dạng 2: Tìm tham số $m$ để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước

Sử dụng điều kiện đủ về đạo hàm, lập hệ bất phương trình về tham số $m$ để tìm điều kiện của $m$.

Bài tập 1: Tìm tham số $m$ để hàm số $y=x^3+3x^2+mx+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải:

$y’=3x^2+6x+m$

Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta có $y’ \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

$\Delta’=6^2-4.3.m=36-12m$

Để $y’ \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$ thì phải có $\Delta’ \leq 0$ và $a>0$.

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 36-12m \leq 0\\ 3>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m \geq 3$
Vậy $m \geq 3$.

Bài tập 2: Tìm tham số $m$ để hàm số $y=x^3+(m-1)x^2-2(m+1)x+2$ nghịch biến trên đoạn $[0;2]$.

Lời giải:

$y’=3x^2+2(m-1)x-2(m+1)$

Để hàm số nghịch biến trên $[0;2]$, ta có $y’ \leq 0, \forall x \in [0;2]$.

Xét $y’=0 \Leftrightarrow 3x^2+2(m-1)x-2(m+1)=0$

$\begin{aligned}
\Delta’
&= 4(m-1)^2+24(m+1) \\
&= 4(m^2+6m+7)>0, \forall m \in \mathbb{R}
\end{aligned}$

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.

Để hàm số nghịch biến trên $[0;2]$ thì $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq 2$.

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-2(m-1)}{3} \in [0;4]\\ x_1x_2=\frac{-2(m+1)}{3} \in [0;4] \end{matrix}\right.$

$\begin{aligned}
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0 \leq -2(m-1) \leq 12\\ 0 \leq -2(m+1) \leq 12 \end{matrix}\right.
\\
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -5 \leq m \leq 1\\ -7 \leq m \leq -1 \end{matrix}\right.
\end{aligned}$

Vậy $-5 \leq m \leq -1$.

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức

Dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số trên một khoảng xác định để chứng minh bất đẳng thức.

Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi $x>0$ ta có: $\sqrt{x} < \frac{x+1}{2}$.

Lời giải:

Đặt $f(x)=\frac{x+1}{2}-\sqrt{x}, x>0$.

$f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}$

$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1$

Bảng biến thiên:

$
\begin{array}{c|ccc} \hline
x & 0 & 1 & +\infty \\
\hline
f'(x) & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \searrow & 0 & \nearrow
\end{array}
$

Vậy $f(x)>0, \forall x>0, x \neq 1$. Suy ra $\sqrt{x} < \frac{x+1}{2}, \forall x>0$.

Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi $x \in (0;\frac{\pi}{2})$ ta có: $\sin x < x < \tan x$.

Lời giải:

Xét hàm số $f(x)=x-\sin x, x \in (0;\frac{\pi}{2})$.

$f'(x)=1-\cos x > 0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$.

Vậy $f(x)$ đồng biến trên $(0;\frac{\pi}{2})$.

$f(0^+)=0 \Rightarrow f(x)>0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$.

Suy ra $\sin x < x, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$.

Xét hàm số $g(x)=\tan x – x, x \in (0;\frac{\pi}{2})$.

$g'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-1=\tan^2 x > 0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$.

Vậy $g(x)$ đồng biến trên $(0;\frac{\pi}{2})$.

$g(0^+)=0 \Rightarrow g(x)>0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$.

Suy ra $x < \tan x, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$.

Vậy $\sin x < x < \tan x, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$.

Câu hỏi trắc nghiệm (có đáp án)

Câu 1: Hàm số $y=\frac{3}{x+1}$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$
B. $(-\infty;-1)$
C. $(-1;+\infty)$
D. $\mathbb{R}$

Câu 2: Hàm số $y=2x^4+1$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(0;+\infty)$
B. $(-\frac{1}{2};+\infty)$
C. $(-\infty;-\frac{1}{2})$
D. $(-\infty;0)$

Câu 3: Hàm số $y=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$
B. $(-\infty;1)$
C. $(1;+\infty)$
D. $\mathbb{R}\backslash{1}$

Câu 4: Tìm tham số $m$ để hàm số $y=x^3+3x^2+mx+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $m3$
D. $m\geq3$

Câu 5: Tìm tham số $m$ để hàm số $y=x^3+(m-1)x^2-2(m+1)x+2$ nghịch biến trên đoạn $[0;2]$.
A. $m<-5$
B. $-5\leq m<-2$
C. $-2\leq m\leq4$
D. $m>4$

Câu 6: Chứng minh rằng với mọi $x>0$ ta có: $\sqrt{x}<\frac{x+1}{2}$.
A. Đúng
B. Sai

Câu 7: Chứng minh rằng với mọi $x\in(0;\frac{\pi}{2})$ ta có: $\sin x<x<\tan x$.
A. Đúng
B. Sai

Câu 8: Hàm số $y=\ln(x+1)$ đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Không đồng biến, không nghịch biến
D. Không xác định

Câu 9: Hàm số $y=e^{-x}$ đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Không đồng biến, không nghịch biến
D. Không xác định

Câu 10: Hàm số $y=\sqrt{1-x^2}$ đồng biến hay nghịch biến trên $[-1;1]$?
A. Đồng biến trên $[-1;0]$ và nghịch biến trên $[0;1]$
B. Nghịch biến trên $[-1;0]$ và đồng biến trên $[0;1]$
C. Đồng biến trên $[-1;1]$
D. Nghịch biến trên $[-1;1]$

Câu 11: Hàm số $y=\arcsin x$ đồng biến hay nghịch biến trên $[-1;1]$?
A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Không đồng biến, không nghịch biến
D. Không xác định

Câu 12: Hàm số $y=\arccos x$ đồng biến hay nghịch biến trên $[-1;1]$?
A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Không đồng biến, không nghịch biến
D. Không xác định

Câu 13: Hàm số $y=\arctan x$ đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Không đồng biến, không nghịch biến
D. Không xác định

Câu 14: Hàm số $y=\cot x$ đồng biến hay nghịch biến trên $(0;\pi)$?
A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Không đồng biến, không nghịch biến
D. Không xác định

Câu 15: Hàm số $y=x^3-3x$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$
B. $(-1;1)$
C. $\mathbb{R}$
D. Không có khoảng nào

Câu 16: Hàm số $y=\frac{1}{x^2+1}$ đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Đồng biến trên $(-\infty;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty)$
D. Nghịch biến trên $(-\infty;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty)$

Câu 17: Hàm số $y=x^2e^x$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty)$
B. $(-2;0)$
C. $\mathbb{R}$
D. Không có khoảng nào

Câu 18: Hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Đồng biến trên $(-\infty;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty)$
D. Nghịch biến trên $(-\infty;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty)$

Câu 19: Hàm số $y=\frac{x^2-1}{x+1}$ đồng biến hay nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$?
A. Đồng biến trên cả hai khoảng
B. Nghịch biến trên cả hai khoảng
C. Đồng biến trên $(-\infty;-1)$ và nghịch biến trên $(-1;+\infty)$
D. Nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và đồng biến trên $(-1;+\infty)$

Câu 20: Hàm số $y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Đồng biến trên $(-\infty;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty)$
D. Nghịch biến trên $(-\infty;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty)$

Đáp án:

1. A
2. A
3. A
4. D
5. C
6. A
7. A
8. A
9. B
10. B
11. A
12. B
13. A
14. B
15. C
16. B
17. A
18. D
19. C
20. A