Số nghiệm của phương trình trên một khoảng
Xin chào các bạn học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin giới thiệu đến các bạn một chủ đề hấp dẫn trong chương trình Toán 11: “Số nghiệm của phương trình trên một khoảng”. Đây là một phần quan trọng trong việc học về hàm số và phương trình lượng giác, giúp các bạn phát triển kỹ năng tư duy logic và giải quyết vấn đề. Chúng tôi sẽ cùng các bạn khám phá cách xác định số nghiệm của các phương trình, đặc biệt là phương trình lượng giác, trong một khoảng cho trước. Hãy cùng nhau bước vào thế giới toán học thú vị này nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Số nghiệm của phương trình trên một khoảng
Dạng 4. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng
1. Phương pháp
Chứng minh phương trình $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ có ít nhất một nghiệm
– Tìm hai số $\mathrm{a}$ và $\mathrm{b}$ sao cho $\mathrm{f}(\mathrm{a}) \mathrm{f}(\mathrm{b})<0$
– Hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ liên tục trên đoạn $[\mathrm{a} ; \mathrm{b}$ ]
– Phương trình $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ có ít nhất một nghiệm $\mathrm{x}_0 \in(\mathrm{a} ; \mathrm{b})$
Chứng minh phương trình $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ có ít nhất $\mathrm{k}$ nghiệm
– Tìm $\mathrm{k}$ cặp số $\mathrm{a}_{\mathrm{i}}, \mathrm{b}_{\mathrm{i}}$ sao cho các khoảng $\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}} ; \mathrm{b}_{\mathrm{i}}\right)$ rời nhau và
$$
\mathrm{f}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}}\right) \mathrm{f}\left(\mathrm{b}_{\mathrm{i}}\right)<0, \mathrm{i}=1, \ldots, \mathrm{k}
$$
– Phương trình $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ có ít nhất một nghiệm $\mathrm{x}_{\mathrm{i}} \in\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}} ; \mathrm{b}_{\mathrm{i}}\right)$.
Khi phương trình $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ có chứa tham số thì cần chọn $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ sao cho :
– $\mathrm{f}(\mathrm{a}), \mathrm{f}(\mathrm{b})$ không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
– Hoặc $\mathrm{f}(\mathrm{a}), \mathrm{f}(\mathrm{b})$ còn chứa tham số nhưng tích $\mathrm{f}(\mathrm{a}) \mathrm{f}(\mathrm{b})$ luôn âm.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tìm $\mathrm{m}$ để phương trình sau có nghiệm: $\mathrm{m}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)+2 \mathrm{x}+1=0$.
Hướng dẫn giải
Đặt $f(x)=m(x-1)(x+2)+2 x+1$.
Tập xác định: $\mathrm{D}=\mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $\mathrm{f}(1)=3 ; \mathrm{f}(-2)=-3 \Rightarrow \mathrm{f}(1) . \mathrm{f}(-2)<0$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.
Số nghiệm của phương trình trên một khoảng
